A-level数学丨矩阵与线性变换

线行变换和矩阵很多同学觉得疑惑，那么今天咱们就来说说啥叫变换（linear transformation）。

本质上，变换就是函数（function）。

例如，你输入一个向量a ，经过某个变换（即函数）的作用之后，输出另一个向量b 。既然，变换本质上就是函数，那为啥还要多搞出这样一个术语？

其实，“变换”这个词暗示了我们能够以某种方式可视化 输入—-输出 关系。它暗示我们要从向量运动的角度去理解。即，变换让向量从一个地方（对应输入向量），运动到了另一个地方（对应输出向量）。

变换有时非常地复杂

那么线性变换是什么意思呢？如果一个变换同时具有以下 2 条性质，则它是一个线性变换。

· 变换前后，所有的直线仍然是直线

· 变换前后，原点保持不变

 

那么，我们要如何描述一个线性变换呢？

以平面直接坐标系为例，假定我们有一个向量 v=-i+2j。我们可以将它看成是两个基向量 i, j 的线性组合。线性组合的系数分别对应向量的2个分量。在某个线性变换的作用下，i, j 以及v都运动到了新的位置。线性变换后的v任然是变换后的i和j的线性组合，并且线性组合的系数和变换前一样（仍然是-1 和2）

意味着，对于一个线性变换，我们只需要跟踪基向量在变换前后的变化，就可以掌握整个空间（即全部向量）的变化。我们将线性变换后的基向量坐标按列组合起来，可以拼接成一个矩阵。线性变换的全部信息便都包含在这个矩阵当中了。

以后，当你再看到矩阵的时候，你都可以将它解读为对空间的某种线性变换，这是深刻理解矩阵乘法、行列式、基变换，以及特征值等概念的重要基础。掌握了本节（从线性变换的角度）看待矩阵的方式，线性代数中，原本极其抽象的概念，都将瞬间变得清晰起来。线性代数中各种看似莫名其妙的运算，以及各种神出鬼没的概念，一下子都变得可爱起来了。