A-level数学涉及到的所有三角函数相关的积分技巧

 

微积分是A-level数学中的重要部分，微分涉及到的技巧相对比较简单，主要包括基本求导公式、和差积商的求导法则及chain rule等微分技巧；而积分除了基本的积分公式外，涉及到的积分技巧比较多，包括reverse chain rule, by substitution, trigonometric identities, partial fraction, integration by parts等，另外三角函数积分又是积分问题中的重要部分，不但涉及到三角恒等关系式(Trigonometric identities)，还会涉及到前面提到的积分技巧，这样让一些孩子感到十分棘手。下面我们就来总结一下三角函数相关的积分技巧。

 

 

 

首先，我们说“一次”的三角函数，包括sin x, cos x, tan x, cot x, sec x,cosec x. 大家首先要知道这六个三角函数可以直接求积分的，即如下积分公式：

 

 

而且大家要知道tan x 和cot x 求积分时涉及到如下积分技巧：

 

 

例如：

 

 

同样cot x的积分大家可以用同样的方法自己推导一下。

 

下面我们说“二次”的三角函数，主要包括sin2 x, cos2 x, sinxcosx, tan2x,cot2x, sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx。

 

前三个积分主要涉及到二倍角公式和reverse chain rule，如：

 

 

 

同样的方法可以得到：

 

 

 

而sinxcosx的积分用到sin2x的展开式，即：

 

 

接下来我们知道sec2 x,cosec2 x,secxtanx,cosecxcotx的积分是可以直接用积分公式的，即：

 

 

而tan2 x与sec2 x,cot2x与cosec2 x有重要的恒等关系式：tan2 x=sec2x-1；cot2x=cosec2 x-1，所以tan2 x与cot2 x的积分可以直接转化为sec2 x与cosec2 x进而求解。

 

下面要说的三角函数积分也是“二次”的，但上面的技巧并不能解决这类问题，而要用到积化和差的技巧。例如求sin3xcos2x的积分，我们知道sin(3x+2x)=sin3xcos2x+cos3xsin2x,sin(3x-2x)=sin3xcos2x-cos3xsin2x，两式相加右边即可得到2sin3xcos2x, 而左边等于sin5x+sinx, 这样sin3xcos2x的积分就转化为求1/2(sin5x+sinx)的积分，即“积化和差”，本质上是利用正弦或余弦的和差角展开公式。同样的方法大家可以试求下sin5xsin2x, cos3xcosx的积分。

 

最后要说的三角函数积分问题主要涉及到下面的两类积分技巧：

 

第一种类型我们刚才在求tan x和co tx积分时已经讲过，第二种类型如：

 

求cosxsin3x的积分，我们知道sin x求导是cos x, 所以原积分等于1/4sin4x，如果不太理解可以反过来求导试试。下面的例题可供大家进一步练习：

 

总结了这么多，是否觉得思路上清晰了很多呢？相信大家以后再遇到三角函数积分问题就可以胸有成竹的面对了，不必害怕，重在总结和练习。