A-level微积分丨链式法则为什么不可以约分？

链式法则作为微积分入门时必须get到的技能之一，真的是伤害了很多同学。直到学完了进阶的最后一个模块，还是有同学问我：“老师，不可以约分吗？”Wendy老师慎重的告诉你：“不约！”先来讲会道理~

 

1.1 通过物理模型来理解链式法则

 

 

我们通过理想齿轮和皮带传动这样一个物理模型来理解链式法则：

 

 

解释一下，上面动画中，有三个齿轮，其中 x齿轮自己有动力，我们可以把它看作自变量，而 u齿轮和 x齿轮通过皮带连接起来的时候， u的转动就和 x相关了，所以 u可以看作是 x的函数，所以 u的转动速度和 x的速度相关（根据物理知识，还跟两个齿轮的半径比值有关）。 du/dx就是 u的速度相对于 x速度的变化率（说人话就是 u速度是x 速度的几倍）。而连接 y和 x的皮带的话就相当于建立了一个复合函数。

 

观察并操作上面的动画，容易看出：，可以对链式法则建立直观印象。

 

1.2 理解误区

 

链式法则本身还是很好记忆的，尤其是这种形式：，感觉 du仿佛可以消去一样：

 

 

这种理解是错误的，这只是一个巧合。两个 du并非同一个函数。

 

 

 

注意这两幅图的坐标是不一样的。

 

 

自然无法消去，只是看起来好像可以消去：

 

1.2.1 一阶微分不变性

 

 

一阶微分不变性实际上和链式法则是等价的。我们回头来看看刚才横坐标为 u的图：

 

 

1.3 小结

 

在一阶求导、积分的时候，把 du看作可以消除的量似乎运转的很好，但是这些都是巧合（或者说是微积分符号设计上的巧妙，这得归功于莱布尼兹）。虽然这种误解有助于我们记忆某些定理、公式，但我们一定要知道为什么？

 

 

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