2023 AP微积分考纲解读：微积分AB/BC区别与选择、重难点与备考策略

美国大学理事会举办的AP考试的微积分科目，分为微积分AB和微积分BC，这两门课注重学生对微积分概念的理解，并提供方法和应用经验。
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微积分这门学科从极限入手，引出微积分的重要概念、定义、公式和定理以及各类重要应用。这是一门强调推理论证、方法技巧以及应用的学科。

本次带来AP考纲解读的是翰林数学G老师

翰林数学G老师
北京大学硕士
● 曾获得全国大学生数学建模学术活动一等奖、全国高中数学联赛二等奖，全国希望杯数学学术活动三等奖
● 持有高中数学教师资格证以及各类学术活动获奖证书
● 辅导学生AMC8/10/12进入复赛以及获奖接近50%，AMC12最高分123；AMC10最高分132；

AP微积分AB/BC区别与选择

学习AP微积分之前，需要有一定的数学基础，比如代数、几何、三角学、解析几何和初等函数等 ，这些函数包括线性函数、多项式、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和分段定义函数，并掌握函数的性质、运算法则和图像。还必须理解函数的语言(域和范围、奇数和偶数、周期、对称、零、截距以及诸如递增和递减之类的描述符)。

另外，也需要知道知道如何从单位圆定义正弦和余弦函数，以及在0、π/6、π/4、π/3、π/2及其倍数处的三角函数值。

出分率对比

AP微积分BC的内容全覆盖微积分AB内容，难度也更大，它相当于大学第一学期和第二学期的微积分课程。两门课有百分之六七十的重合度，但其实每年AP微积分BC的5分率都大大高于AP微积分AB的5分率。AB每年的5分率约在19%，BC每年的5分率约在40%。

另外AP微积分BC在大学的认可度和能够转换学分的概率都更高。参加微积分BC的考试之后，可以拿到两个分数，一个是BC的，一个适合AB的。微积分BC拿到满分5分的情况下，也会获赠微积分AB的满分成绩，这就是常常出现的微积分双5分的情况。

AP微积分5分率这么高的一个原因是：AP微积分的容错率非常高。满分108分的卷子只需要拿到70分左右就可以拿到5分，基本是三分之二的正确率即可。
知识点对比
下面我们来看看AP微积分AB与BC的考点分布：
● 第1单元：极限与连续性
● 第2单元：微分：定义和基本属性
● 第3单元：微分：复合函数、隐函数和反函数
● 第4-5单元：微分的各类应用
● 第6单元：积分
● 第7单元：微分方程
● 第8单元：积分应用
● 第9单元：参数方程、极坐标和向量方程
● 第10单元：无穷序列和级数
AP微积分AB与BC的主要区别在第九单元和第十单元，这两个章节是BC only的，包括参数方程，极坐标系，向量方程，以及无穷级数部分。

其他章节的内容覆盖也有部分区别：
● 第3-5单元微分以及应用部分，多了极坐标方程，参数方程求导，在motion中多了二维运动，求切线中增加了polar形式的切线求解；
● 第6单元积分部分，BC会包含分部积分法，分式拆分法以及瑕积分；
● 第7单元微分方程部分，BC会包含欧拉公式，以及logistic模型；
● 第8单元积分应用部分，BC会包含弧长积分，曲线路径积分，增加参数形式的定积分和二维运动等。

下图是选择题的单元知识点分布表：
可以看到第九单元和第十单元占了BC的30%左右，而这最后两个章节，尤其无穷级数是重难点部分。其实选择BC只比AB多了一小部分内容。

然而由于学习BC在大学的认可度和能够转换学分的概率都更高，所以学习BC很有优势。当然做出选择还要参考未来的专业选择。

未来专业对AB/BC选择的影响

选择微积分BC的情况
● 未来想申请数学、计算机、生物、化学、科学、普通商科及管理类甚至是医学等相关专业
● 对于未来专业选择生物化学、社会科学、普通商科及管理类的同学而言，BC基本涵盖了大学本科所有的教学内容，拿到5分并兑换AP学分，意味着大学不需要再修习微积分课程。
● 对于专业方向是数学、计算机、物理、工程或经济、金融等专业的同学，BC能相当好的满足后续学习要求。

选择微积分AB的情况
● 未来想申请社会或人文等学科专业
● 想要更弹性的时间安排，为其他的学科学习预留足够的时间

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AP微积分考试形式与重难点

了解课程的整体框架，清楚每部分的重点内容，有目标性地进行学习，更能把AP微积分学懂、学好，5分到手更有把握！

AP微积分允许部分使用计算器：

考试时长：3小时15分钟

考试形式：45道多项选择题和6个自由回答问题。

● 第一部分：多项选择题，45题，105分钟，占考试成绩的50%

A部分：30个问题；60分钟（不允许使用图形计算器；占33.3%）

B部分：15个问题；45分钟（需要图形计算器；占16.7%）

● 第二部分：自由回答，6题，90分钟，占考试成绩的50%

A部分：2个问题；30分钟（需要图形计算器；占16.7%）

B部分：4个问题；60分钟（不允许使用图形计算器；占33.3%）

AP微积分的这十个章节中，我们可以从前文的章节考试百分比看出考试的重点分布，以BC为例，重点在于求导应用、积分以及积分应用、无穷级数这些部分。

而难点部分以及需要注意的部分有：

极限部分

需要注意的是，我们不仅要熟练掌握洛必达法则，用洛必达法则处理无穷大比无穷大，或者零比零的分式极限，还需要掌握如何处理零乘无穷大，零的无穷大次方，无穷大的零次方类似问题的处理方式。另外注意掌握求导定义的含义，有的极限题目需要我们透彻了解求导定义之后方能解答。

求导应用部分

注意微分中值定理罗尔定理等定理的应用，以及相关题目的处理方式。

积分部分

注意曲线积分，二维运动的路径长度求解，极坐标面积积分，运动物理总运动路程求解，旋转体体积积分，注意体积积分时候绕x轴、y轴旋转的不同处理方式等。还要注意积分中值定理的应用。

微分方程部分

注意掌握斜率场含义和图像，欧拉方法以及logistic增长曲线的形状等。

无穷级数部分

这个重难点，注意区分p级数、调和级数、几何级数以及交替级数；注意通用的级数发散的判别方法，注意对于正级数的几种敛散性的判别方法的选用，注意它们之间的区别。比如积分判别法，比较判别法，极限比较判别法，比值判别法，n次根式判别法，这些判别法各自的适用条件，如何选用以及如何用它们判断敛散性。另外交替级数有它特殊的判别方法也需要多加区分注意。

考试中对于选择题和简答题，考察不同能力的占比如下表：
选择题中，Practice 1 也就是考察从数学公式到运算结果的部分占整个考试的53%到66%的比重。包括 differentiation 以及 integration 的计算以及对应的应用，例如算体积、面积、rate of change 等等。而定理的直接考察或证明或验证等的考察占比较小。平时学透彻，结合多刷真题，刷分类的知识点的选择题，会很有助于提分。

做大题时候不仅仅要写出答案，还要能够解释以及使用专业术语，并且把过程中的表达式写出来，如果仅仅写个答案，可能只拿1分，很多问题需要我们去解释说明清楚，才能拿高分。

AP微积分的备考建议
在进入微积分学习之前需要有较好的函数基础，AP微积分学习五大类初等函数的微积分，所以对于幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数的性质，图像，公式定理，求解方法需要很熟悉，反函数，复合函数等也是需要提前掌握。Pre-calculus就是进入AP微积分前的一个很好的铺垫。

在理解的基础上再学习技巧

学习数学需要技巧和理解，二者缺一不可。理解原理与AP微积分需要我们深入理解原理，理解求导定义式，理解各定理的原理以及思想，有一些题目是直接考察我们对于原理的掌握。重视公式推导，推导是最好的记忆方法，推导之后理解也更加透彻，运用也更加熟练。在这个基础上需要分类学习各个版块的知识点，方法技巧，掌握各类题型的解题方法技巧，比如掌握不同的积分表达式应该选用什么积分方法，不同的无穷级数应该选用什么判别敛散性的方法，等等。

常回顾，常梳理归纳总结，常复习

知识点常常是环环相扣的，前面的内容为后面的铺垫和基础，学习过程中常复习可以为后续学习做好铺垫，常梳理归纳总结可以找到同一个知识点不同题型之间的区别与联系，找到处理不同类型题目的不同的方法技巧，掌握如何选用最有效的方法进行求解。

整理错题集

错题集是很有必要的，而且需要常回顾，因为比如积分方法中，原式变换一点点可能就需要使用完全不同的积分方法来求解，初学容易遗忘或出错，那么整理错题集可以帮助我们快速复习回顾，加深之前出错点的正确解法的印象，加上常复习，可以渐渐达到融会贯通的效果。

考前刷真题套卷

之前是分模块地刷每个部分的知识点，考前需要大量刷真题套卷，一方面把握好时间分配，模拟考场感受，一方面整体的复习回顾各个部分的知识点，了解试卷整体知识点分布，查缺补漏自己的薄弱知识块，并进行针对性的复习。最后几套当做全真模考来做，严格计时。

熟练使用计算器

考试中会有约33%的部分需要使用计算器，需要能够熟练掌握计算器的使用方法，平时就要做好练习，了解每种情况下的计算器使用方法。
计算器的选用中，比较好用的是Ti-Nspire和Ti-84这两种。

不论是哪款计算器，请确保会进行以下四个操作：
● 能用计算器画函数图像，并且熟练地缩小和放大窗口；
● 能用计算器找函数的零点（zero point），即解方程；
● 能用计算器计算函数在某一点的导数（derivative）；
● 能用计算器计算定积分（definite integral）

另外，考试中有67%的部分不能使用计算器，所以平时要做好计算训练，考试时间紧，题目多，需要手算的地方也不少，所以计算能力强可以得到准确结果以及节省做题时间，这些平时都要做好训练。

遇到难题卡住时间较长时进行取舍判断，随时关注时间。

注意备考时间

如果是学校学习，3月一般会学完所有知识点，一个月时间刷题；如果是社会考生，一般需要30-50（如果没有多少precalculus基础需要的学习时间较长）小时的上课时间以及大量的练习，最后也要有至少一个多月的时间刷真题套卷复习巩固比较好。

最后希望大家放松心态，认真练习，在考试中取得好成绩，在学习中有所收获。

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