美国数学竞赛AMC10高分攻略，AMC10到底难在哪里？

每次考完AMC10之后总有同学反馈难度很大，时间不够，做的不理想等等，AMC10相较于AMC8在难度上有较大的提升。无论是题目的广度还是难度都有了一个较大的变化。今天我们对AMC10学术活动中常见的难点进行一下汇总，帮助各位同学备战AMC10！

英语理解问题

在这些难点中，首当其冲便是英语理解的问题。一些题目本身并不困难，但是其描述较为复杂，不容易读明白，从而出现问题。比如说2009年AMC10B的这个问题：

On Monday, Millie puts a quart of seeds, 25% of which are millet, into a bird feeder. On each successive day she adds another quart of the same mix of seeds without removing any seeds that are left. Each day the birds eat only 25% of the millet in the feeder, but they eat all the other seeds. On which day, just after Millie has placed the seeds, will the birds find that more than half the seeds in the feeder are millet?

我们来看一下题目的中文翻译：

周一的时候，Millie在鸟类喂食器里放了1 quart的种子，其中25%是小米。之后的每天，他都会往喂食器里面放1 quart相同比例的种子，并且不会拿出去原有的种子。每天，鸟都会吃掉喂食器里面25%的小米，并吃掉其他全部的种子。那么在哪一天，当Millie刚放下种子时，喂食器里面会有超过一半的小米？

其实这道题如果翻译过来就不难处理，只需要分析一下过程，然后连续计算接下来几天小米在喂食器里面的比例就可以得到答案。

可以说这道题最大的考点其实是在于读懂题。首先我们要明白Millie喂鸟以及鸟吃种子的过程。其次我们要搞清楚里面的每一个比例对应着什么整体。比如说第一个25%的整体是所有的种子，而第二个25%的整体是所有小米。有了对这个过程的理解，我们便可以求出每天放种子之前和之后小米的量，从而回答这一问题。

知识面涉及广

另一个难点就在于知识的广度。乍一看AMC10考试的考纲和AMC8的很接近，但是AMC10在一些细节上有了较大的不同。像是数论、组合、数列这些平时学校课程不常涉及的内容已经成为了AMC10的必考项目。

每年基本都有题目是关于这些学校里面不怎么涉及的内容。以2020年的AMC10A考题为例，与数论和组合相关的题目有5道。这对于没有深入学习过这些知识的考生而言是非常可怕的。这五道题的正确率都在20%以下，完成率均在50%以下。由此可见，知识的广度也成为了AMC10考试对于没有任何学术活动经验的同学的一大难关。

知识点难度大

另外，一些知识点本身就是难点。例如数论问题中的最大公约数和最小公倍数的问题。虽然大家从小学就学过因数和倍数的概念，也接触过最大公因数和最小公倍数，但是很多学生并不是很熟悉与他们相关的重要性质。例如2018年AMC10B的这一题：

How many ordered pairs (a, b) of positive integers satisfy the equation:
ab+63=20 lcm(a,b)+12 gcd(a,b)
where gcd(a,b) denotes the greatest common divisor of a and b, and lcm(a, b) denotes their least common multiple?

这道题即便是对于最大公约数和最小公倍数有了初步了解也并不是很容易下手，因为其中需要用到一个非常重要但是学校课程往往不会强调的性质，即ab=gcd(a,b)lcm(a,b)。如果有了这条性质的帮助，这道题的难度一下便减小了不少。

知识的灵活运用

最后一大难点就在于知识的灵活运用。AMC10中的很多问题往往以非常灵活的方式出现。一些知识点往往以意想不到的方式出现在题目当中。比如2019年AMC10A的这道题：

For how many integers n between 1 and 50, inclusive, is (n^2-1)!/(n!)^n an integer? (Recall that 0!=1).

这道题看似是一道数论中的整除问题，然而想要快速的破解这道题却需要学生对于组合公式有很强的理解。如果只是把这道题当做一道整除问题来处理，那么考生将会非常被动，因为其中的阶乘非常难下手。而如果注意到(n^2)!/(n!)^(n+1)是组合中的一个常用公式，也就是说一定是一个整数的话，那么此题将会容易很多。接下来只需要找到使得n!/n^2是整数的n即可，也就是找到使得(n-1)!/n是整数即可。

除了这种对于知识需要较高理解的问题，还有很多题考验大家对于知识的综合运用。比如2019年AMC10B的这道题：

All lines with equation ax+by=c such that a, b, c form an arithmetic progression pass through a common point. What are the coordinates of that point?

这道题首先考察考生对于等差数列的理解，但这并非这道题的重点。接下来考生需要根据等差数列的定义来转化这一等式，从而找到其中的不动点。假设这个等差数列公差为d，那么该等式可以化为ax+(a+d)y=a+2d。因为我们希望该式成为关于a、d的恒等式，因此我们把a和d单独列出来，得到(x+y-1)a+(y-2)d=0。由此可得，x+y-1=0, y-2=0。此题迎刃而解。

这道题就是考察了考生们对于问题的整体把握，不仅要对等差数列有一定的理解，还需要对如何处理一次方程有较为深刻的理解。

 

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