为什么越来越难申请到理想的美国本科学校？

我们用一个例子讲清楚这个问题，我想要说的是：任意一个申请者提交的申请越多，那么每一个申请者得到的录取都不会变得更好。请注意，这其实是一个可以证明的严格论断，尤其，这个结论不依赖于下面这个简单的例子。

我们要举得例子是关于男士和女士配对，大学申请比这个问题稍微复杂一点，但是基本原理本质上是一样的。我们假设有四位男士和四位女士，每位男士对这四位女士有一个偏好顺序，同样，每位女士也对这四位男士也有个偏好顺序，每一位的具体偏好如下图所示。

P(m_1)代表第一位男士 m_1 的偏好，他最喜欢的女士是 w_1,而他最不喜欢的（但可以接受的）女士是 w_4，其他人的偏好依此类推。

 

我们跟随惯例让男士来求婚，女士来挑选（对应到大学申请，那就是学生提交申请，大学来挑选）。我们先假设这些男士都是传统、保守的好男人：每人只约会一位女士，也就是说，m_1 约会 w_1, m_2 约会 w_2, m_3 约会 w_3, m_4约会 w_4。女士挑选的结果对男士来讲真是太完美了，每一位男士都收获了他们最喜欢的女士，但是，情况对女士来讲就不是那么好了，每一位女士都只收获她们最不喜欢的、勉强接受的男士。我们也注意到，由于男士比较传统和克制，每位女士只收到一个约会邀请，女士其实没有挑选的余地。

接着我们来看看如果男士不那么传统或保守，也就是男士可能脚踩两只船甚至到处沾花惹草（对应到大学申请的问题那就是每一位申请者不可能只申请一所学校啊，目前美本申请现状就是大家四处出击）。我们想要说明的是：脚踩两只船害人害己，申请撒大网四处出击也是害人害己。为了简单起见，我们假设这里的男士都同时约会了两位女士（一般的结论不依赖于这里的“同时”），可以预期的是，女士会收到不止一个约会邀请从而有了选择的余地：女士必然可以收获更理想的男士，我们来看看是不是真的这样，下面需要一点点小耐心额。

每一位男士都同时约会两位女士，显然，他们约会的是各自偏好里的前两位咯，我们发现，女士 w_1 收到了来自男士 m_1 和 m_2 的约会邀请，显然，女士 w_1 会选择她更喜欢的男士 m_2 而拒绝掉男士 m_1 的邀请（上翻看一下偏好列表啊）；类似地，女士 w_2 也收到了来自男士 m_1 和 m_2 的约会邀请，女士 w_2 选择她更喜欢的男士 m_1 而拒绝掉男士 m_2；对女士 w_3 和 w_4 可以做类似分析。最终结果是所有女士都收获了她们各自偏好列表里倒数第二喜欢的男士，而不是前面收获的各自列表里最不喜欢的男士。更为重要的是，我们发现每一位男士都收获了各自偏好列表里面的第二位女士而不是前面各自收获的第一位女士！脚踩两只船害人害己啊，受益的是另一半啊！

练习：

1）在这个例子里，如果每位男士把市面上的女士都约会一遍，那么每一位男士最终只能收获自己最不喜欢的那位女士，而每一位女士都能收获到她们最喜欢的男士，多么惨痛的教训啊。

2）即便是只有一位男士脚踩两只船而其他男士都只约会他们最喜欢的女士，那么最终所有的男士都不能收获他们最喜欢的女士。

最后，我们回到标题提出的美本申请问题，由于感觉到申请竞争越来越激烈，外加现在网络申请的便捷性，每一位申请者都不断增加申请学校的数量，目的是为了确保自己能够收获理想的学校，然而，实际发生的是，即便只有一位申请者增加自己申请学校的数量，那么每一位申请者（包含他自己）都不会收获到更好的学校，而学校则会收获它们更“理想”的学生。有什么办法让申请者明白这个道理？有什么办法让申请者在明白这个道理之后减少申请学校的数量呢？

这个例子也让我们对英国大学申请规则有一个新的理解视角，英国大学只允许学生申请最多5所学校，而且牛津和剑桥两所之中只能申请一所，这个规则咋看是限制了学生的选择自由度，然而，读过这篇文章你有没有发现这其实是在“保护”学生？

 

我们这里所讨论的问题其实是所谓双边配对（two-sided matching）问题的一个具体例子，这个问题最先由数学家Gale和Shapley提出，然后经济学家Alvin Roth用这个理论研究了现实中的配对问题，尤其是安排美国医学院学生到医院实习的问题，他因为对这个问题的出色研究和Shapley共同获得了2012年的诺贝尔经济学奖，Roth的专著Two-sided matching: a study in game-theoreticmodeling and analysis值得一读。他的学生Parag Pathak也因为双边配对问题的研究获得了2018年的Clark奖（只授予40岁以下的年轻经济学家）。需要指出的是Shapley对经济学更大的贡献在博弈论方面。