AP考试来了，你准备好了吗？文中有大量考试干货在等你！

AP考试小贴士成熟、勇毅、坚定的你们，有没有准备好即将到来的AP考试呢？
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考生手册（student pack）
HB/2号铅笔与橡皮——作答选择题
黑色/蓝色签字笔——自由问答题
计算器（微积分、化学、物理、统计等科目） 禁止携带移动设备、笔记本电脑、平板电脑；食品、饮料、香烟等；
各类参考资料（即使开卷也没时间查找）；
涂改液、荧光笔、自动铅笔
（划重点：自动铅笔）。一定要提前注意考试时间安排，千万不要迟到；请切记不要使用自动铅笔，多带几只铅笔以备不时之需；
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干货满满请大家收好～Calculus AB/BC复习和做题提示

Big Idea 1: Limits

1.1:The concept of a limit can be used to understand the behavior of functions.

1.1A(a): Express limits symbolically using correct notation.
1.1A(b): Interpret limits expressed symbolically.
提示：单侧极限（limit），极限的存在性。
1.1B: Estimate limits of functions.
1.1C: Determine limits of functions.
提示：极限四则运算法则。0/0，∞/∞，0∙∞均为不定式（indeterminate forms），需要用L’Hôpital法则求解；1∞，∞0，00亦为不定式，可通过求对数化为0/0（或∞/∞）不定式。
1.1D: Deduce and interpret behavior of functions using limits.
提示：渐近线（asymptotes）的意义。有理分式（rational functions），其vertical asymptote取决于分母=0的点，horizontal asymptote取决于分子分母最高次次数。

1.2: Continuity of a function is a key property of functions that is defined using limits.

1.2A: Analyze functions for intervals of continuity or points of discontinuity.
提示：在某处连续（continuous）的定义为：该点极限等于该点函数值。
1.2B: Determine the applicability of important calculus theorems using continuity.
提示：闭区间上连续函数有介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）。

Big Idea 2: Derivatives

2.1: The derivative of a function is defined as the limit of a difference quotient and can be determined using a variety of strategies.

2.1A: Identify the derivative of a function as the limit of a difference quotient.
2.1B: Estimate derivatives.
提示：直接用定义进行数值估计。
2.1C: Calculate derivatives.
提示：记住基本函数的微分公式，微分的加减乘除法法则（特别是乘法法则），复合函数的链式法则（chain rule）。
2.1D: Determine higher order derivatives.
BC级别：方程定义的隐函数（implicit function）两边取对x的微分，把y看作x的函数，得到关于dy/dx的一次方程，然后变形即可用x,y表达dy/dx；二阶微分也是把dy/dx表达式中y看作x的函数。
参数方程（parametric equations）定义的函数（参数为t），dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)；二阶微分再把dy/dx看成t的函数做类似操作。

2.2: A function’s derivative, which is itself a function, can be used to understand the behavior of the function.

2.2A: Use derivatives to analyze properties of a function.
提示：一节微分看增减，二阶微分看凹凸。一阶微分=0为驻点（stationary point/critical point）可能是极大（local/relative maximum）、极小（local/relative minimum）或二者皆非，是哪一种看前后一阶微分值变不变号；拐点（inflection point）看二节微分变不变号。
2.2B: Recognize the connection between differentiability and continuity.
提示：可微（differentiable）必连续，反之不必。

2.3: The derivative has multiple interpretations and applications including those that involve instantaneous rates of change.

2.3A: Interpret the meaning of a derivative within a problem.
2.3B: Solve problems involving the slope of a tangent line.
提示：切线（tangent）斜率=该点微分值；法线（normal）与切线垂直。
2.3C: Solve problems involving related rates, optimization, rectilinear motion, and planar motion (BC).
提示：注意速度（velocity）是矢量，分量分别算；速率（speed）是速度矢量的大小。
2.3D: Solve problems involving rates of change in applied contexts.
2.3E: Verify solutions to differential equations.
2.3F: Estimate solutions to differential equations.
提示：1）给定一个一阶微分方程（differential equation of first order），则每一个点(x,y)决定该点的微分值即函数斜率，所有点的斜率构成斜率场（slope field），将各点斜率连成一条曲线，则为满足方程的一个解。
2）Euler法（BC级别）为最简单的数值求解一阶微分方程的方法，设定一个步长Δx，由一个初始点开始，用每一步的微分值估计下一步的y的值。

2.4: The Mean Value Theorem connects the behavior of a differentiable function over an interval to the behavior of the derivative of that function at a particular point in the interval.

2.4A: Apply the Mean Value Theorem to describe the behavior of a function over an interval.
估计一个小的Δx范围中某点的微分值，可用Lagrange中值定理（Mean Value Theorem）。另外中值定理（Cauchy形式）也是L’Hôpital法则的理论基础。

Big Idea 3: Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus

3.1: Antidifferentiation is the inverse process of differentiation.

3.1A: Recognize antiderivatives of basic functions.
提示：基本函数的微分公式反推一些基本的原函数（antiderivative）。
3.1A2: Differentiation rules provide the foundation for finding antiderivatives.

提示：求原函数的运算：

1) 加减法和数乘。
2) 对于两函数相乘的积分，可以先观察是否其中一个函数是另一个复合函数中间变量的微分，如果能就用换元法（changing variables）；否则，可以尝试用分部积分法（integration by parts）（BC级别）：主要适用类型包括xn∙sin(x), xn∙cos(x), xn∙ex, xp∙lnx, xp∙arctan(x)等。
3) 根式下a2±x2型，x2-a2的积分，可用三角换元（如a2-x2，可做代换x=a∙cos(x)）。
4）对于有理分式，可以用待定系数法（method of undetermined coefficients）先化成简单的部分分式（partial fractions），然后对每个部分分式求积。

3.2: The definite integral of a function over an interval is the limit of a Riemann sum over that interval and can be calculated using a variety of strategies.

3.2A(a): Interpret the definite integral as the limit of a Riemann sum.
3.2A(b): Express the limit of a Riemann sum in integral notation.
提示：Riemann可积（integrable）函数，其Riemann和（sum）的极限与划分和取点的方式无关。
3.2B: Approximate a definite integral.
提示：积分的数值方法，包括左、右矩形法（left/right rectangle method），梯形法（trapezoid method）。比较几种方法的近似值与精确值的关系可通过画图看出。
3.2C: Calculate a definite integral using areas and properties of definite integrals.
3.2D: (BC) Evaluate an improper integral or show that an improper integral diverges.
提示：反常积分（improper integral）看成上/下极限趋近于无穷或某值时积分的极限。跨过一个反常奇点积分，则两边要分开求再加和。

3.3: The Fundamental Theorem of Calculus, which has two distinct formulations, connects differentiation and integration.

3.3A: Analyze functions defined by an integral.
提示：基本公式：Newton-Leibniz公式，联系函数与原函数的关系。变上/下限x的积分看成x的函数，求微分即为被积函数在该点的值。如果上/下限为x的函数，则求微分用链式法则。
3.3B(a): Calculate antiderivatives.
3.3B(b): Evaluate definite integrals.

3.4: The definite integral of a function over an interval is a mathematical tool with many interpretations and applications involving accumulation.

3.4A: Interpret the meaning of a definite integral within a problem.
3.4B: Apply definite integrals to problems involving the average value of a function.
3.4C: Apply definite integrals to problems involving motion.
提示：BC级别：注意位移（displacement）是速度（velocity）矢量的积分，也是矢量；距离（distance）是速率（speed）的积分。
3.4D: Apply definite integrals to problems involving area, volume, and length of a curve (BC) .

提示

1) 面积：极坐标（BC级别）定义的曲线围成的面积公式。对封闭曲线先取好始末点对应的极角θ的上下界。求两图形相交区域先求交点，然后分片求解。
2）旋转体体积：可用截面（cross-section）法，也可用圆柱壳法（shell method），看给定的函数关系和绕哪个轴旋转，选取方便的方法。
3.4E: Use the definite integral to solve problems in various contexts.

3.5: Antidifferentiation is an underlying concept involved in solving separable differential equations. Solving separable differential equations involves determining a function or relation given its rate of change.

3.5A: Analyze differential equations to obtain general and specific solutions.
提示：对于dy/dx=f(x)∙g(y)型的微分方程，可将x、y分离变量（separating variables），两边积分。指数增长/衰减（exponential growth and decay），以及 logistic growth （BC级别）两种常见的方程都属于这一类。
3.5B: Interpret, create, and solve differential equations from problems in context. 4

Big Idea 4: Series (BC)

4.1: The sum of an infinite number of real numbers may converge.

提示：级数（series）值定义成部分和当项数n→∞的极限。
4.1A: Determine whether a series converges or diverges.

提示：

1）级数收敛（converges）的必要条件是项an→0；
2）几何级数（geometric series），公比（common ratio）为p，当|p|<1时收敛，否则发散；
3) 正项级数收敛的最基本原理：比较判别法（comparison test）。有改进版：极限比较判别法（limit comparison test）；
4) p-series：1/np型（或对于n可求原函数的正项级数）可用积分判别法（integral test）；
5) 与几何级数进行比较，得到比值判别法（ratio test）和根值判别法（root test），可推广到非正项级数（加绝对值，判断绝对收敛）。其中比值判别法比较有用，适用于含an，n!，nn形式的级数，也是求幂级数收敛半径的基础（参见4.2C）；
6）绝对收敛（absolutely converges）的级数必收敛，反之不一定。收敛但不绝对收敛的级数称为条件收敛（conditionally converges）；
7）对交错级数（alternative series），有简单的Leibniz判别法：每项的绝对值单调下降趋近于0，则交错级数收敛。（图像：在收敛点附近振荡，且振幅越来越小）

4.1B: Determine or estimate the sum of a series.
提示：

1）几何级数可精确求值；
2）对于满足Leibniz判别法的交错级数，根据图像，截断到第n项的和，误差不超过第n+1项的绝对值；
3）对于绝对收敛的级数，则调换任意项的次序，得到的级数依然收敛于原值。

4.2: A function can be represented by an associated power series over the interval of convergence for the power series.

4.2A: Construct and use Taylor polynomials.
4.2B: Write a power series representing a given function.

提示：

1）记住在x=a附近函数的Taylor展开公式，它是一个幂级数（power series）。MacLaurin展开式为Taylor在x=0展开式的别名；

2）截断到第n项，Lagrange余项（remainder）可用来做误差的上限的估计。注意Lagrange余项的形式中f(n)(ξ)中的ξ为a，x之间的某个值，误差估计的时候要取|f(n)(ξ)|在该区间内的极大值作为上界的估计；

3）熟悉sin(x), cos(x), ex, ln(1+x), (1+x)p的展开式；

4）幂级数可以进行逐项微分和积分（differentiation and integration term-by-term）；由此可求得一些不方便直接计算的函数的展开式（如arctan(x)）。也可用于将无法写成闭形式（closed form）的原函数（如∫exp(-x2)dx）展开成级数。
4.2C: Determine the radius and interval of convergence of a power series.
提示：用比值判别法可求得幂级数的收敛半径（convergence radius）。收敛半径上的点的收敛性要单独判定。