考试已经临近,各位同学是否做好准备了呢?微积分的复习中,注意一定按照知识点来串联复习每个考点,刷题要做到严格按照套路和公式,大题要做到不慌不忙,按部就班才可以。接下来为大家带来的是近年的考试热点分析和大题的重点关注,不要错过哦。
热点1:微分方程与初值问题考察知识点:微分方程求解与积分考题描述:
给定一个微分方程及其某一特解上的一组数值,求微分方程的该特解或求该特解上的另一点的函数值。
考点解析:
微分方程是形如的一类等式,左边是一个导数,右边是一个关于x和y的式子。此类方程的解是一族函数求解的方法是分离变量。如果给出此函数的一个点,那么我们带入即可求出C,此时得到一个特解。问题会问我们这个特解,或问我们这个特解上的另一处函数值。例题根据上文分析可以知道,此题考察微分方程与初值问题,求的是一个特解。我们对原方程分离变量,此时代入(1,4)可得热点2:定积分定义问题考察知识点:定积分的定义式及其变形考题描述:
题干通常给出一个函数F在x=a处的函数值,然后给出其导数F’在(a,b)上的积分(或者从题的其他小问算出此积分),然后求问F在b处的函数值。
考点解析:
定积分定义告诉我们,将此式子移项可得,也就是说,已知a点函数值和a到b的函数导数的积分,可以通过这个式子求出b点函数值。例题观察题目可以发现,题目求问f(4),又告知导数在0到4上的积分。根据解析,我们有:此类题目难度较低,但是学生不容易看出题目在考察什么知识点。热点3:变化量与变化率问题考察知识点:定积分的应用。题目描述:
题目关键词是rate。题目给出一个物理量的变化速率的函数。然后求在某一段时间间隔内,这个物理量的变化量是多少。
考点解析:
此类题目近几年的考试题中有增加的趋势。已知变化率,求变化量,方法是定积分,这一点同学们一定要牢记。如果这个物理量同时有增加和减少的两个速率(例如,水池有进水速率和放水速率),那么计算变化量时一定要注意使用的被积函数是这两个速率的差。
在大题中,甚至有一些选择题中,会要求学生用黎曼和来估计这一累积量的题型,此时要知道黎曼和是定积分的一个近似,可以代替定积分。例题此题典型给出了速率函数和时间间隔,求问累积量,采用积分式具体答案是多少,各位同学不妨动动计算器计算一下。需要提醒的是,20000这个数字很大,在使用计算器算积分时会出现看不到图像导致出错的问题。
因此先把20000放在积分号之外,算完积分再乘以20000.第二,很多Ti84默认显示的x范围是-10到10,如果积分限是12,那么会报错。
因此要注意及时调整显示窗口window。热点4:导数与函数图像的关系问题考察知识点:导数的应用,导数和二阶导数与原函数的关系题目描述:
题目往往给出原函数、导数和二阶导数中的一个或几个,然后给出其中某一者的一些信息(往往是图像),求问另一者的某些特征。
考点解析:
原函数、导数和二阶导数之间的关系是老生常谈,但是近几年来,有考察增多的趋势。对于这类问题,最有效的方法,还是直接回归基本知识,最简单的两句话:
(1)一阶导大于0,函数增;小于0,函数减;等于0且二阶导不等于0,有极值。
(2)二阶导大于0,函数concave up;小于0,concave down;等于零且三阶导不等于0,有point of inflection。
要及时判断出题目在考察这个知识点,是关键。例题导数图像里,从0开始,导数经历了小于0——大于0——小于0——大于0——小于0的五个阶段。那么原函数就应该是减——增——减——增——减五个阶段。
所以II和III都符合。有同学会问,接上可以吗?我们知道,可导必连续,但不可导未必不连续。所以III没有问题。
第二部分 重点关注的热点问题微积分AB微积分AB选择题应重点关注如下知识点:定积分的定义;变上限积分函数;微分方程与斜率场;
换元法求解积分。
微积分AB大题应重点关注如下考法:
1.(必考)给定变化率函数,求解:变化量、初始值、函数在某一段上的平均值等
2. (必考)给定一个函数及其几个函数值的列表,求解:某点的瞬时变化率、某一段上的平均变化率、黎曼和;判断黎曼和是高估还是低估;给出具体的函数,求积分和变化量。
3.给定微分方程,求解:通解、特解、定积分、切线方程等。
4. (必考)给定变上限积分函数,求解:函数的导数、最大值、最小值、积分值等。
5.给定一个复杂函数,求解:函数的导数、积分、最值、极值、切线方程等。
6.给定导数或二阶导数的图像,求解:原函数、原函数的积分、导数的积分、二阶导数的积分、函数的切线等。
提示:多年未考相关变化率的大题,不知是暂无动静,还是会冷门重返。
微积分BC选择题应重点关注如下知识点:定积分的定义;泰勒级数的定义式、泰勒级数中出现的函数各阶导数;分部积分;
导数与函数图像的关系;
参数方程求导与求二阶导;
已知截面积的物体体积问题;
极坐标方程求面积和曲线长度;
绝对收敛、相对收敛问题。
微积分BC大题应重点关注如下考法:
1.给定参数方程,求解:导数、切线方程、曲线长等。
2. (必考)给定一个函数及其几个函数值的列表,求解:某点的瞬时变化率、某一段上的平均变化率、黎曼和;判断黎曼和是高估还是低估;给出具体的函数,求积分和变化量。
3.给定微分方程,求解:通解、特解、定积分、切线方程等。尤其注意逻辑斯蒂方程。
4. (必考)给定变上限积分函数,求解:函数的导数、最大值、最小值、积分值等。
5.给定极坐标方程,求解:图形所夹面积、图形曲线长度等。
6.给定一个复杂函数,求解:函数的导数、积分、最值、极值、切线方程等。
7. (必考)给定函数,求解:泰勒级数、通过积分或求导推出此函数积分或导数的泰勒级数、判断是否收敛或求收敛半径、利用交错级数误差或拉格朗日误差余项求算误差上限等。
提示:多年未考相关变化率的大题,不知是暂无动静,还是会冷门重返。
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