【A-Level】Integration by substitution

Integration by substitution可以说是A-Level core(pure) maths非常喜欢考的题型，而且算是偏难的题目，且一旦出现，占的分数就较高（6分甚至更多），6分就差不多要降一个grade了，所以这个方法要好好学习呐。

可喜可贺的是，基本上一旦要考u-substitution, 题目里面都会直戳戳地告诉替换的式子，只要你正确地换好，剩下的往往就不难了。

先啰嗦一句，为啥要替换呢，因为不同于differentiation，differentiation有加减乘除的运算法则，同时还有chain rule来处理复合函数(composite function)，如下： 但是integration只有加减法的运算法则，而没有像differentiation那样的rules 来处理乘除法和复合函数(composite function)： 所以遇到被积函数(integrand)是出现乘除法和复合函数时，就要寻求各种各样的求解方法，u-substitution是其中一种方法，通过把integrand里面的某些复杂的部分换成一个简单的variable u， 达到把积分(integration)里面的函数变成简单好做的形式。

【以上，请注意求解定积分(definite integral) 时，把 x 更换成 u 之后一定要记得更换 upper limit 和 lower limit !!! 然后 step 6 就无需rewrite the answer in term of x 了，直接把 u 的值代到 u 的式子里面即可。如果你非要换回x， 就把原来的 x 的值代回 x 的式子 详细请见Example 3】

好，废话不多说，看一些 examples :

Example 1

上面这个例子在做替换的时候就把式子里面那个看似尴尬的存在 ' 6x ' 消掉了，往往多数题目都是正好可以这样消去多余的 x 的，但是有些情形一次常规的替换之后并未能把 x 消除干净，但也绝对可以经过二次替换消除干净，要进一步操作二次替换，看example 2.

Example 2

以上的替换式子都是 u=f(x) 的形式，有些替换式子是 u²=f(x)，在differentiate这个替换式子的时候要注意使用implicit differentiation，就这一点区别，其他都是一样的，请看例3：

Example 3

有时候，题目里面也不总是用 u=u(x) , 也喜欢来个 x=x(θ) 之类的替换，本质上都是一样的，都是换完之后，积分里面只有新字母，没有旧字母就OK啦，看例4:

Example 4

好啦，相信看了这4个examples 之后大家能对integration by substitution 有了一定的了解了，做这种题目要多观察，还要提高化简转换能力哦，适当的simplify往往能避免解题过程忽然懵了，或者运算错漏。

来~ 吃下这个题，消化掉，你的分数可能就要up 一个grade啦，哈哈哈哈嗝