2017年STEP(I)真题剖析及详解

最近有零星的几个孩子加我微信咨询STEP考试以及STEP课程辅导的，由于临到A Level考试季，时间甚是紧张，但是想到她们在奋力拼搏却感觉到无从下手时，我还是挤出了点时间完成了这次的推文。

本次推文是针对2017年STEP（I）真题的一个剖析和详解，对2018年即将要参加STEP考试的同学以及2019年计划参加STEP考试的同学都是一个很好的指引和推动，推荐你多看反复看几遍此文，一定会让你对STEP考试有比较深刻的了解，并且能在考试中尽量准确的找出解题思路和突破口，我把所有题目（共13个题）全部拿出来做了详解，你对pure，mechanics和probability哪方面更擅长，你自己把握拿捏好，选择适合自己胃口的6-8个题把它咀嚼掉，好好消化，（虽然只是答对四个题目，就能稳拿1，但是我强烈建议在复习备战时期还是多准备多看几个合胃口的题开拓一下思路为好。）

Lisa承诺每年都发详解，只源于对A Level英国高考探究的热爱和执着，真希望对你们有所帮助，我希望收获更多这样的小确幸。

这次不扯淡，直接入题：

 

1. 此题是考察不定积分的换元方法，我管它叫做“凑项法”或者叫“长得一样原理”（the same method），大家可以在我的公众号里搜索标题为“Antiderivative（不定积分）——凑项法（the same method）”的文章，里面有个视频，如果你对这种求解不定积分的方法陌生的话，那么我强烈建议你看看这个视频，相信会对你有很大的帮助。

既然换元公式里的u是什么已经告诉你了：

那么我们就要先把它的微分求出来：

 

再对比被积函数：

仍然找不到一样的，突破口在哪呢？

对了！被积函数上下同时乘以

，很快就做出来啦：

 

 

下一个问题是：

还是要对被积函数处理一下，上下同时乘以sinx，（说明一下，这个其实还是很容易就能想到的，因为上一个小问为了消掉tanx的分母，要上下同时乘以cosx，现在换成cotx，很明显要上下同时乘以sinx。）

观察一下哪个是u然后求出du：

则原来的不定积分就是下面的结果：

 

看question（ii）的第一问：

先找到u然后求出du：

 

最后一个问有点小难：

但是顺着（ii）的第一个小问，还是比较容易想到的，怎么样分母才能出现这个呢？

怎么样分子才能出现这个呢？

综合一起，不难发现，分子和分母同时除以

如下图：

 

2. （i）这个小题没有难度几乎，定积分的上下限发生了变化，被积函数的大小也随之变化：

（ii）这个小问，有两种方法解题：第一种仍然是采用（i）的方法，用含有定积分的不等式解题：

（注意在解题过程中都是要注意分别考虑两种情况的。）

2（ii）的第二种方法是通过求导的方法，因为导数代表了原函数增大或减小的速度，导数越大代表增大或减小的速度越大：

此题首先是考察Integration by parts，大家可以在我的公众号里搜索题目为“

A Level以及AP微积分中的Integration by parts（分部积分）”的文章，里面详细讲解了关于Integration by parts（分部积分）的求解方法，这道题 被积函数是lnx，所以要用到“对幂”：

然后要把第（i）和第（ii）的结果利用起来，用他们做定积分的被积函数，下面的是根据（i）得出的结论（注意要分两种情况）：

下面是根据（ii）得出的结论（同样也是要分两种情况）：

综合以上得出答案的结论：

第2题同样也属于承上启下题，属于正常思路的题。

 

3.第一个问题是考察切线方程，这个属于Edexcel A Level C1、FP1共有的知识点，只是求导时需要用到复合函数求导，也就是chain rule，P点和Q点的切线方程很容易求出：

下一个问是求面积的倍数关系，首先要求出三角形RST的面积，那就要求出这个三角形三个vertices的坐标，点R是两条切线的交点，S和T分别是两条切线同y轴的交点：

因此RST的面积很容易如上图计算出来。

关于三角形OPQ的面积的求解方法有多种，这里介绍两种：

第一种是求三角形OPM和OQM的面积和，从而推出三角形RST与三角形OPQ面积的倍数关系，具体如下：

第二种方法是在图中做辅助线PM和QN，用梯形PMNQ的面积减去两个直角三角形PMO和QNO的面积得出，具体如下：

第3题属于简单题，很容易求得的。

4.第4题的设计让人一看就感觉很难搞定的感觉，貌似题量好大，它只是需要考生严格谨慎审题然后追随题目找到解题线索，（i）里的第一个小问，sketch然后找到取值范围，这是基础题：

（i）：

接下来的两个小问也是可以通过图像的观察得出结论：

如何能推出来

这个呢？是的，要用S的代数式来表述r，

 

求解第（ii）题仍然要先sketch：

通过观察sketch得出能够determine T uniquely的q的取值：

 

同样通过观察sketch得出能够让T同时取两个值的q的取值范围：

最后一个问，有两种方法，第一种方法，先把要求出来的方程设成一个模式，（利用根与系数的关系设的），然后利用根与系数的关系公式求出方程：

第二种方法是用T的代数式表示r，代入公式

，然后整理求得：

5.第一个问是求rectangle的面积，很容易就写出来啦：

第二个问：express s，可以用两种方法，第一种方法是根据圆的方程把点R的y-coordinate写出来，利用tan函数把点Q的y-coordinate也写出来，令它们相等，即能写出s的表达式：

第二种方法是仍然根据以上原理，只是步骤发生了点小变化：

其实上面两种方法没有太多区别。

下一个问是求，也有两种方法，第一种是运用chain rule，然后单独求ds/dx，将其代入到的式子里求出：

另一种方法是一开始就把

代入到面积公式中，然后求：

 

因为maximum area happens at stationary point：

最后两个函数大部分要用到基本三角函数公式、二倍角公式。

注意：像show这种证明题，你要先搞清楚要show什么，就是结论，根据结论去想证明思路。

 

6.Question(i)考察的是函数的连续性和反证法的运用：

 

Question（ii）

必须满足两个条件，才能运用（i）里面的结论推出（ii）的结论；条件1是必须是continuous，条件2是在对应区间内必须有nonzero的取值，这两个条件都需要证明出来：

 

 

Question（ii）的最后一个问就是个计算题，直接上图：

 

Question（iii），需要花时间思考如何利用（ii），也就是要找到代替（ii）中的g(x)的函数是什么，应该是h'(x)，然后运用Integration by parts证明其满足（ii）的条件：

 

7.首先把图形画出来：

看上面的图，相信很容易清楚下面两种方法求解：①利用cosine rule解题：

②运用等边三角形的centre of rotational symmetry的位置求得：

 

Question （ii）：在三角形LCM中运用cosine rule即可求得：

 

Question 7 （ii）的最后一问的证明如下：

 

Question （iii），运用cosine rule、三角形面积公式、两角和余弦公式证明如下：

 

8. prove by induction（数学归纳法）很容易证明出结论如下：

第8题的question （i）的第一个问有两种方法证明，第一种就是仍然运用proof by induction：

第二种方法，运用递推：

 

第8题的question （i）的第二个问证明如下（同样运用两种方法）：

 

第8题的question（ii）：

 

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