N+1学院第7期：数学的故事 · 黄国标 | 美文篇

转自N+1学院07标哥BBC纪录片《数学的故事》 ”

第一集：《数学：宇宙的语言》《数学：宇宙的语言》中提到古埃及分数的运用，我觉得很有意思。正好内容中心在准备古埃及数学文化，放假这几天就去查阅资料，现和大家一起分享探讨。

一、古埃及的分数运算
先用一个简单的例子来理解下古埃及人的分数运算：如何将2个面包均分给3个人？
在现今所使用的分数中，我们当然都知道每个人取2/3。古埃及的人们，是怎么算的呢？
首先，把2个面包分为4个1/2，先给每个人1/2，还剩下1个1/2再3等分，平均分配。这样每个人分到，即。有趣的是恰好就等。
好，下面我们正式进入古埃及一个问题：如何将九块面包等分给十个人？
这是记录在《莱因德纸草书》的问题，因为埃及工人的薪资就是用食物和饮料来支付。那么古埃及人如何解决这个薪资分配问题呢？
古埃及人不是说每个人可以取得，而是说每人（视频中有介绍）。真叫人难以想象，连都搞不清楚，？所以几千年来，数学史家一直坚持认为，古埃及人不会使用分数。
古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数。因此这种分数也叫做埃及分数，或者叫单分子分数。古埃及分数最大的特点是用单分子分数和的形式表达。如果遇到分子不是1时，就进行分数分解，例如刚刚提到的。
实际上《莱因德纸草书》的卷首载录了一组分数分解表，列出型的分数分解结果，n是从3到101的奇数。古埃及分数运算方式，遭到现代数学家们纷纷责难，认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之繁杂也是原因之一。
埃及金字塔是举世闻名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，难道最简单的现代分数也不懂？在探究这个问题前，我们先了解下古埃及人如何表达分数。

二、古埃及如何表达分数
分数对市场中交易量的分配有着重要实际意义，古埃及正是因为这样实际的问题，开始探索分数应用。那么古埃及人是怎么表达分数呢？
答案是一个神秘色彩的符号——荷鲁斯之眼（神灵之眼）。 古埃及人将荷鲁斯之眼拆解为6个部份，每个部份各代表着一个分数，构成一个等比级数，相加起来便是一个荷鲁斯之眼，代表着1。 即，事实上等式右边尚差，但古埃及人将其舍去。
虽然埃及人在处停止了，但荷鲁斯之眼暗示了更多分数的可能。每次减半，总数无限接近于1，却永远也到不了1.这是几何级数的雏形 埃及分数可说是无穷级数的一种特殊表现形式，无穷级数的一个重要应用就是对函数值逼近，所以用埃及分数对函数值尤其是无理数估值自古以来就收到广泛重视。
在古印度梵文经典《测绳的法规》中需要造祭坛，就运用埃及分数来逼近π和。直到今天，人们对于许多函数值估算，也都是用埃及分数的有限形式来逼近，例如 。埃及分数在无穷级数理论方面得到广泛应用，可见单分数的思想无论在过去还是现在，一直在数学领域发挥着其积极作用。古埃及看似“奇葩”的分数运算蕴含了大智慧。
那么接下来就遇到一个关键问题：任意一个真分数能否拆成若干个埃及分数和？

三、埃及分数的本质
研究埃及分数对整个数学的发展起推动作用，尤其在数论研究这个领域，有许多埃及分数特性的问题被解决或留待解决.
研究始于一个古老的埃及分数难题：老人弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6.应该如何分马呢？
二分之一是5匹半马，总不能把马杀了吧，正在无奈之际，邻居把自己家的马牵来，老大二分之一，牵走了6匹；老二四分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹，一共11匹。分完后，邻居把自己的马牵了回去，即。
这则故事实际上提出了这样一个数学问题：如何把有理数分解成3个单位分数之和。即能否存在整数，使得。经过两千多年的研究，这个问题已经解决清楚。
数学家还更进一步研究一般情况：埃及分数的实质，就是能否把一个真分数拆成若干个单位分数的问题。即对于给定互素的正整数，不定方程，是否有正整数解？
斐波那契（Fibonacci）在其名著《算盘书》（1202年）中最先给出肯定的回答，并指出其具体算法，现叫贪心算法，但没有证明。直到1880年，英国数学家西尔威斯特（James Joseph Sylvester）才给出第一次有效地证明。即：任给互素的，这样的整数k和一定存在，满足不定方程。
但是数学家们研究的步伐并没有停止，思考在更严格的条件下，结论是否依然成立。即：对于给定互素的正整数，不定方程，在什么条件下有正整数解？
数学史上一些未解决的著名猜想就在于指定的特殊值上。例如，取，猜想对于所有，方程都有正整数解。
（注：是一个非常关键的特殊值，为什么取这个特殊值，需要很多证明推导）.
这就是关于埃及分数最著名的世界级猜想——欧德斯猜想。欧德斯-施特劳斯猜想（Erdős–Straus conjecture），简称欧德斯猜想，是由匈牙利犹太数学家保罗·埃尔德什与德裔美国数学家恩斯特·斯特劳斯于1948年共同提出的数论猜想。

目前欧德斯猜想未被完全证明。我国已故数学家柯召先生于1978年的证明，即当时，欧德斯猜想成立。包括菲尔兹奖得主、华裔澳大利亚数学家陶哲轩在内的名家都研究过欧德斯猜想，依然无法解决.

四、数学的故事
虽然欧德斯猜想还未能完全证明，但在2015年9月17日数学家陶哲轩宣布破解保罗·埃尔德什在1932年提出的另一个猜想：埃尔德什差异问题，这是个困扰学术界80多年的问题。
2013年，正值埃尔德什的百年诞辰，陶哲轩在其个人社交网络贴出了一张颇有意义的照片：一位头发花白、身着西装的老人与一个穿着蓝灰色上衣的小男孩坐在一起。老人一手拿着纸张，另一只拿着笔的手放在鼻子下面，小男孩也低头注视着纸面。因为过于专注，两人都没有注意到镜头。

这是一个美丽的故事：照片中的老人就是保罗·埃尔德什，小男孩则是时年10岁的陶哲轩。这是陶哲轩第一次见到埃尔德什.六年之后，16岁的陶哲轩在埃尔德什的推荐下前往普林斯顿大学攻读博士学位.三十年之后，40岁的陶哲轩破解保罗·埃尔德什差异问题。

看到埃尔德什与陶哲轩这样美好的故事；想起希腊三贤：苏格拉底、柏拉图、亚里士多德是师徒孙关系。近代数学家傅里叶的导师是拉格朗日，拉格朗日曾受到大数学家欧拉的指导，欧拉的老师是约翰伯努利，约翰伯努利的老师是莱布尼茨....这些故事都让我感受到人是核心，数学传承才是最好的纪念。
在收集资料的过程中，感受到数学是那样的自由，她容许各种奇思妙想，而这些奇思妙想往往也是推动其发展的一大动力.。这种想象力的发挥自然带来艺术家一样的创作快感，这就是思考数学的一大乐趣。
最后推荐下作家保罗·霍夫曼（Paul Hoffman）写过一本埃尔德什的传记《The Man Who Loved Only Numbers》，中文译作《数字情种》。

【注】
《莱因德纸草书》
《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一，作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代（1849 B.C. ─1801 B.C.）的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德（A. H. Rhind）购得，故以此命名。现藏于伦敦大英博物馆。
《莱因德纸草书》

陶哲轩
陶哲轩12 岁获得 IMO （国际奥林匹克数学学术活动）金牌，21岁获得博士学位，24岁被评为正教授，31岁获得菲尔兹奖。现任教于美国加州大学洛杉矶分校（UCLA）数学系，是澳洲惟一荣获数学最高荣誉“菲尔茨奖”的澳籍华人数学教授，是继1982年的丘成桐之后获此殊荣的第二位华人。
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