要学好专业课，先学好数学

转自“数字信号处理辅导”

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要学好专业课，先学好数学

王仕奎

 

电子信息类的专业课，非学好数学不可，否则将步履维艰。

电子信息本来是从物理学科分离出去的，没有数学学不好而物理学得很好的。常言说的“数理”，即指数学和物理，这两门学科联系是很紧密的。数学需要物理来扩展范围，物理需要数学来深化。但是，电子信息类课程的数学，就本科来说，我认为复数知识是至关重要的。

微积分固然重要，但是复数知识对于《信号与系统》和《数字信号处理》等课程，尤其更加重要。复数是一个强大的工具，复杂的过程，通过复数来描述，往往将变得很简单，否则，仅仅用实数描述，困难将是不同寻常的。就拿我昨天给学生讲的傅里叶级数来说，显然按照高等数学的介绍，公式长得多，而且没有进一步发展，即如果信号不是周期的怎么办？如果是离散信号怎么办？后续的讨论将会很困难。复数在描述同时具有大小和方向的物理量，或者同时具有幅度和相位的物理量时，是很方便的，比仅仅用实数描述要优越很多。

同学们的数学基础不好，因此学习起来很痛苦，这是当代初等教育改革失败的充分体现，也是大学各级领导不能充分考虑课程的衔接，忽视部分数学内容学习的结果。不考虑数学的实际，胡乱设置教学计划，该学的不教，用处不大的反而乱教，都是误人子弟的表现。是该对我们的教育进行深刻反思的时候了。

在我主持编辑的公众号《许康华学术活动优学》上，最近连续三天发了大数学家陈省身先生的报告《怎样把中国建为数学大国》，陈先生说，没有复数，就没有电学，就没有现代文明，这句话一点也不夸张，恰如其分地说明了复数的重要性。

 

电子信息类专业课程，根据性质的不同，可能重点用到的数学知识不同，有的微积分用得多，有的三角函数用得多，但是，对于本公众号，即进行数字信号处理系列课程辅导，毫无疑问，复数是最重要的，非下苦功学好不可。只有学好数学，才谈得上专业课的其他各种学习技巧；否则，连走路都不会的人，和他讲跑步和跳远的各种技巧，不是太可笑了吗。

要学好专业课，先要学好数学！

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附：陈省身《怎样把中国建为数学大国》

怎样把中国建为数学大国？

陈省身

 

本文刊于数学进展，第20卷第2期，1991年4月。

1990年10月26日在台湾成功大学，10月29日在中兴大学演讲。本文将收录至《陈省身文选》(台湾联经出版杜出版)。应《陈省身文选》编者张洪光同志之请，陈省身教授将本文于1990年12月10日寄给他供工作之用，我们按张洪光同志的供稿刊出。

——《数学进展》编辑注

一、引言

先从我个人说起：我1926年入天津南开大学，1930年数学系毕业。那时我的老师姜立夫先生是极少数有博士学位的人。现在听说在台湾的数学博士在二百人以上，全世界的中国数学博士当超过千人。在这样的基础上，如何使中国的数学发展，使在廿一世纪的数学史上，中国是一个重要的区城，自然值得我们深思。

今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学学术活动(International Mathematical 0lympiad)获得第一(第二、三名依次为苏联及美国)。不但如此，中国总分超出第二名苏联甚远。参加者中，有四人得满分，其中两个是中国人。中国参加这学术活动不久；1988年得第二名，去年(1989)也是第一名。

这项学术活动是高中程度，不包括微积分。但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的。因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试。学术活动胜利者也未必是将来的数学家。这个意见似是而非。数学学术活动大约是在百年前在匈牙利开始的：匈牙利产生了同它的人口不成比例的许多大数学家！

在最高深最活跃的数学方面，中国数学家亦有许多杰出的工作，无法尽举，简述若干如下：(一)1983年丘成桐教授因为Calabi 猜想及普通相对论的正质量猜想的证明，获得国际数学会议的Fields奖章，这是一个重要的国际数学奖。(二) 美国数学会每年选择一个最活动的专题，作为暑期节目(Summer Institute)的中心课题，集国际上这方面的专家，举行为期约三周的工作营。1988和1990的题目分别是“多复变函数”和“微分几何”。这两科目里中国数学家是突出的。微分几何会丘成桐是主持人之一。两会中作特约演讲者有萧荫堂、莫毅明、田刚、项武义、李伟光等。中国这方面的人数，超过百人。其中才智之士，即将脱颖而出者，不可胜数。举莫毅明教授为例，他现在是巴黎大学教授。巴黎是二十世纪大数学家庞加莱(Henri Poincare)的根据地。莫毅明班门弄斧，令人佩服。(三) 项武义教授最近解决了球装(Sphere Packing) 的问题。这问题有近四百年的历史，是一项富有历史意义的工作。

这个单子还可继续写下去。近年来中国数学家的贡献，是不可忽视的。

数学是什么？数学家究竟做些什么事？一个严格的定义会引我们进入一死胡同。大致说来，数学利其他科学一样，它的发展基于两个原因：(一) 奇怪的现象；(二) 数学结果的应用。一个例子是以下的“幻方”，其中的九个不同的数目，横加、直加，和沿两条对角线的和都是15。可惜幻方只是一个奇迹，没有什么应用。另外的一个奇迹，圆周长L对直径d的比率，L/d = π，是一个常数。这个结果可是重要了！π这个数渗透了整个数学!

 

杨振宁先生讲过这样的故事：我们都知道，德国大数学家高斯(C. F.Gauss，1777-1855)在读小学的时候，老师出了一个题目：求1 + 2+ 3 + … + 某数的和。同学们都用死算，高斯却获得一个公式、可以立刻求得答案。方祛是命

S = 1 +2 + 3 + … + n，

将各项倒过来写，则得

S = n + (n- 1) + (n - 2) + … + 1。

由此可见每列两个数的和都是n + 1。因有n 列，得

2S = n(n + 1)  即  S = n(n + 1)/2。

振宁把这算法讲给他的孩子听，大家都了解和欣赏。但一年后问起这个问题，却都忘了。杨振宁、陈省身同比我们更聪敏的人不同的地方，是我们了解这个推论的美、的力量，听过之后，永远不忘。

谈到数学的欣赏，让我再讲一个故事：当代有名的数论大家Atle Selberg (1917- ) 曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下的公式：

π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 -…。

这个公式实在美极了，单数1，3，5，…这样的组合可以给出π。对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽的图画或风景。凡读过初等微积分的人大多应碰到这个公式。如果只因为考试而背诵它，这个人便不必读数学。

二、数学史上的几件大事

不管数学是什么，数学家在继续推展它的范围。最奇妙的，是新数学得到不能想像的应用。数学工作的主要目的，是了解新数学的性质，尤其是它与传统数学不同的地方。结果把奥妙变为常识，复杂变为简单，数学便成为科学的有力而不可缺少的工具。

兹举数学在历史上的若干进展为例：

(一) 一本划时代的书是欧几里得 (Euclid，约300 BC) 的“几何原本”。它把空间的几何性质，从一组公理出发，用逻辑推得。欧书范围其实不限于几何。这本书把数学建为一项系统的学间，不再是一堆汇集的问题。历史上有一段时间，欧书也用来练习推理，成为一本通俗的教科书。

(二) 欧书讨论的范围，限于平面上的直线、圆周、和空间的相当图形。等到Descartes(1596 - 1650) 引进解析的方法，便可研究平面上由任意方程

所定的曲线。几何的范围扩大了！ 但任意曲线或任意函数的研究要等Newton (1642- 1727)和Leibniz (1646 - 1716) 的微积分的发现，才特别有效。这个时期另一个重要的数学家是Fermat (1601- 1665)。他同时发现了许多解析几何和微积分的观念，可惜他在生前未曾发表。

(三) 微积分的一个基本新观念是无穷： 无穷大或无穷小。由无穷便引到极限。澄清这些观念不是一件容易的事，费了数学家约两百年的时间。它牵涉到实数系统、拓扑和数学的基础。一个关键的人物是Cantor (1845- 1918)。他的点集论独创新意，高腧远瞩，为数学立了基础。

(四) 数学上另一个基本概念是群。最早的问题是解代数方程，要把任意方程

的根表为系数的只含根号的函数。要回答这个问题，需要群的观念。最先认清这个关系的，是法国的年轻数学家Galois (1811- 1832)。群的观念从此深人到每个数学领域。

在几何方面有变换群。 欧氏空间的全体运动组成一个群。其他还有投影变换群，等角变换群等等。这种群是无限的，他的元素组成一个空间。他们都是李群的特例。创始人Lie(1842- 1899) 是挪威的数学家。 李群是数学上一个基本的概念。

有限群的研究是很困难的。要了解它们的结构，数学家把它们分解为单群。但是单群并不“简单”：有许多极大的有限单群。当代领袖的代数学家说：有限的单群已经完全确定了。可是这个定理的证明，需要二千页，也还没有人把它完全写下来。

(五) 上面说过，解析几何推广图形的范围。最普通的一个情形，是在n维空间Rn内，讨论一组方程式

流形把空间的观念扩大了。在微分流形上可以用微积分的工具，实施种种运算。这个发展使微分几何成为数学的一个中心领域。

(六) 请容许我谈一些同我个人工作有关的一个方面，即所谓纤维丛和连络。我们有种种特殊的空间，如欧氏空间、矢量空间、仿射空间等等。我们也有一般的拓扑空间。前者有深刻的性质，后者富于普遍性。纤维丛是把两者串连起来的一个观念。它是一个自然的发展，也十分有用。它有局部的性质和整体的性质。 前者容易描写和度量，后者选出重要的性质。纤维丛的现象出现于数学的各部门， 和理论物理。

物理上有四种力：核力、电磁力、引力和弱力。现在大家公认：这四种力的能都是规范场。纤维丛的连络是规范场论的数学基础。

三、当前的数学界

二十世纪数学的一个现象，是职业数学家人数的大量增加。美国几个数学会的全体会员录列五万六千多人，其中绝大多数是有博士学位的。

数学成为一个社会现象，大约发生于一百年前。今年德国数学会庆祝成立一百周年。前年则有美国数学会成立百年纪念。国际数学家会议的首次会于1897年在瑞士Zurich举行，会期三天。第一个演讲者是法国的庞加菜，题目是“纯分析同数学物理的关系”(庞氏因病未能出席，演讲由人代读)。值得注意的是这题目今天仍适用，但“分析”似应改为“几何”。国际数学会议每四年举行一次，今年八月在日本京都。1994年将回到Zirich开会。

另一个现象是计算机的侵入。计算机引发了许多新的课题，如Recursive Functions，如Complexity，如Fractals等等。它对于许多数学工作有用，也使若干问题改观。但究竟影响有多大，则是一个聚讼的问题。数学天地虽小，也是很热闹的。

计算机的立刻的影响，恐怕是数学教育。从前需要学习的某些方法，现在不再需要，至少应该改变。这种讨论对于数学的发展是健康的。

第二次世界大战以后，科学受到重视，数学研究也得到社会的支持。有些人可靠做研究生活。这个情形的一个效果，是使得数学工作者同相类的工作者有相类的待遇，因此能吸收有才能的新人进入工作的行列。

一个发展是研究所的成立。最早而最有名的是Princeton 的Institute for Advanced Study。这个故事值得一讲！二十年代美国纽约的大百货公司Macy公司的老板Louis Barmburger决定捐一大笔款办理科学事业，问计于教育家W. Flexner。F先生的建议说：“你的捐款数目很大，但是不足以办一个第一流的试验科学研究所。如果侧重数学，则可能是第一流的”。B 先生听了他的话。恰好德国希特勒于1933取得政权，IAS请到爱因斯坦、Hermann Weyl 等教授。不出十年，Princeton 成了世界数学研究的中心。

IAS 的主要节目，是网罗年轻有为的数学家，给他们优良的环境和工作机会。作者第一次在那里，是1943 -45，完成了我一生最重要的工作。此恩令人难忘。以后我还去过三次(短期访问不计)，都给我愉快的回忆。

继起的研究所有：巴聚的Institut  des Hautes Etudes，英国Warwick 的Mathematics Institute，日本京都的Mathematical Sciences Research Institute，Bonn 的Max Planck Institut，以及巴西、墨西哥等研究所。最近成立的有苏联列宁格勒的研究所，和正在计划中的英国剑桥的牛顿研究所。这些研究所都有著名的常任研究人员，广泛的节目，也十分欢迎合格的访问数学家。

讲到研究所，自然应提到Berkeley 的MSRI，因为我曾经起过若干作用。这是美国国家基金会支持的，是美国第一个政府办的数学研究所。在一个民主的国家，这种事要经过长期的酝酿。等到决定举办以后，它的地点更是大家争逐的目标。 我同I. Singer及C. C. Moore 送进一份计划书以后，没有做过任何争取的努力。我可以想像Berkeley 计划的优点，获选并非偶然。1982年成立以来，备受好评。

尽管大家鼓吹交流和合作，我相信数学研究主要靠个人。一个人的创见是努力和灵感的结晶，不是同一群人讨论的结论。数学是一个广泛而复杂的学间，自然需要吸收各方面的知识和观点。但更要紧的是要有个人的风格。

数学的研究与其他科学相比， 有一个显著的不同的地方：它是向多方面发展的。当今的物理科学和生物科学往往有几个主题。但数学的研究方向比较可随个人自由选择。所以工作不必集中于几个大的中心，研究人员可较分散。一个有能力有决心的人，可以随不同的途径，完成他的志愿。

二十世纪是数学的一个黄金时代。

四、纯粹数学与应用数学

数学上一个极大的谜是：为什么数学会有用？

近来一种风气，是在数学机构上，加“应用”两字。其实纯粹数学与应用数学是很难划界的。再举一个例：代数拓扑中有所谓“结”论(knot theory)，问空间绳子的结，是否可不经剪断而解开。例如下图的梅花结就解不开。这个问题在分子生物学DNA的结构研究中，极为重要。所以生物学家需要学微分几何与代数拓扑。柏克菜的V. Jones 教授因为“结”论与算子代数的工作，获国际数学会的1990年Fields奖。他引进了结的新的不变式，现称为Jones 多项式。

科学的发展需要数学。但是历史告诉我们，他们所需要的数学，往往为数学家所已发展。这是数学家值得自豪的，也是一件十分神秘的事实。

我相信数学是有内容的，不完全是逻辑。廿世纪数学中的菩萨包括黎曼(Riemann)、庞加莱。大致说来，黎曼把数学建立在流形的观念上，庞加莱则发展高维的数学。流形不必光滑，非紧致的流形将有更多几何性质，若千无限维流形会有美丽的现象，这些都是可以期望的远景。

两千年的数学发展是连续的。这个现象当可继续。不过十一世纪的数学将是一个新的天地。世变不可知，可引以自慰的是数学是一个坚固的结构。我想有人类就有数学！

五、结  论

中国数学的发展已具有充分的条件，不妨考虑一下当前有些什么事可做：

(1) 要有信心。千万把自卑的心理放弃，要相信中国会产生许多国际第一流的数学家。也没有理由中国不能产生牛顿、高斯级的数学家。

法国文学家Romain Roland 写过一本书， 记载中古时代德国音乐家在罗马的故事。罗马人笑他们，这种野蛮的人，如何懂音乐？ 没有多少年德国出了Bach，Beethoven。我做学生的时候，曾经看见日本人写的文章，说中国人只能习文史，不能念科学。这种荒谬的说法当时也可言之成理。

中国应建立若干基地。交流仍是必要的，但应求逐渐对等。

(2) 希望社会能认识中国成为数学大国是民族的光荣，而予以鼓励和支持。例如：不要把数学家看成“怪人”。中国没有出牛顿、  高斯这样伟大的数学家是社会的、经济的现象。中国的大数学家，如刘徽、祖冲之、李治等都生逢乱世。我想治世时聪敏人都去求功名做官去了。这情形现在并没有改变。要提倡数学，必须给数学家适当的社会地位和待遇。

愿中国的青年和未来的数学家放大眼光展开壮志，把中国建为数学大国！

(1990年11月于美国加州)