从数学家爱上消防员说起——AMC（美国数学竞赛）里面的那些面积问题

数学家救火法 的名字来源于著名的网络段子：

一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试。”

消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管。消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭。”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”
数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着。”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。”

 

AMC数学里面常常会碰到不规则图形的面积求解问题。不规则平面图形的面积并没有现成的公式，在不用积分的情况之下，我们只能将其转化为已知公式的几何图形面积求解，可以将其分割，也可以将它补齐。这与这位爱上消防员职业的数学家的思路如出一辙，也是我们在学习新知识时常用到的几种非常有效的逻辑之一。

 

 

 

我们先来回顾一下平面几何里面常见的几个面积公式：

 

1.三角形：

 

上图中，r 是△ABC内切圆的半径，R是△ABC三角形外接圆的半径，h则是△ABC底边a上的高，s代表△ABC周长的一半，sinc代表∠C的正弦值。

此外，如果我们知道△ABC每条边的长度，那么我们还可以用海伦公式来计算。见下图：

 

 

 

 

 

2.四边形：

 

 

 

这是一个任意四边形（与之相对的是对角互补的圆内接四边形），s代表四边形周长的一半，θ则表示四边形对角和的一半。

 

 

这时候很容易发现，当θ=90°时，即四边形的对角互补，此时四边形为圆内接四边形。

此时四边形的面积公式为：

 

 

3.接下来我们来看一道AMC10的试题：

 

 

在正六边形ABCDEF中，点W、X、Y和Z在边BC、CD、EF、FA上，使得AB，ZW，YX和ED互相平行并且等距。问新形成的六边形WCXYFZ和原来的六边形ABCDEF的面积比例是多少？

按照数学家爱上消防员的思路，求解新的六边形面积，我们很容易会想到：

 

1. 连接FC,将新的正六边形分解成两个等面积的梯形；
2. 连接ZY,WX，将其分解成两边等面积的等腰梯形和中间的长方形；
3. 分别过F和C点做ZW的平行线，延长ZW,YX，补齐得到一个长方形，接着减去四个角上的三角形等等

 

接着再把大六边形的面积计算出来，然后求两个面积的比值。

上面提到的这些方法，都是很好的解题思路。

 

但是，这些是不是最好的办法呢？

 

还有没有更好的方法呢？？？

 

给大家思考几秒的时间。。。

 

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这里给大家提供一种不需要计算，只需要画图，然后再数格子的方法：

 

 

4.讲到最后，这里交给大家一个如此不规则堪称爆炸的平面图形，如图所示：

这又要怎么求解呢？

请看下一篇文章：从数学家爱上消防员说起 - CEMC里面的那些体积问题

 

 

 

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