AP微积分Calculus考点大揭秘

- AP微积分考点大揭秘 -

Calculus AB和BC所考内容五大部分1极限部分以求极限值和渐近线为主，大约5道选择题A．求函数渐近线水平的和竖直的各自用极限是怎么定义计算的，基础还是极限计算。不要死背公式，回到逻辑上去看。

（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等）

（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数）

（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质）

（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质）

（5）复合函数，反函数

*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数

（7）函数图像平移和变换

B．Limit and Continuity极限和连续

基本计算：

- 一些基本函数的极限结论要熟悉，如 y=e^x在x 分别趋向于正无穷或者负无穷时的极限，y=sinx在 x 趋向无穷时的极限，等等；

- 基本的加减乘除原则；

- sinx在x趋向于∞时 有理函数类型（自变量趋向于无穷时，直接看最高项次方的关系。两个极限小公式（一个是sinx/x，一个是结果记为e的那个）；

- 洛比达法则（L’ Hopital’s Rule）AB不考，BC考极限喜欢考它。

闭区间连续函数的性质定理：

最值定理（Extreme Value Theorem）

介值定理（Intermediate Value Theorem）

零点定理（Zero Point Theorem）

记住这三个定理的内容，理解其逻辑，并会联系Mean Value Theorem。

分类：

（1）极限的定义和左右极限

（2）极限的运算法则和有理函数求极限

（3）两个重要的极限

（4）极限的应用-求渐近线

（5）连续的定义

（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点）

（7）最值定理、介值定理和零值定理2导数和导数的应用部分（重点）以运用不同函数的导数去解决实际物理或者几何问题为主，大约有15道选择题和3道问答题。

C．Derivative导数

（1）导数的定义、几何意义和单侧导数

（2）极限、连续和可导的关系

（3）导数的求导法则（共21个）

（4）复合函数求导

（5）高阶导数

（6）隐函数求导数和高阶导数

（7）反函数求导数

*（8）参数函数求导数和极坐标求导数

D．Application of Derivative导数的应用

（1）微分中值定理（D-MVT）

（2）几何应用-切线和法线和相对变化率

（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动）

（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性

（5）洛比达法则求极限

（6）微分和线性估计，四种估计求近似值

（7）欧拉法则求近似值

* 极限，连续和导数的概念，建议通过图形记忆，三者之间存在密切的联系！一般可导的图形都是光滑连续的。

3不定积分、定积分及其应用部分（考试重点）以运用不定积分的运算法则求体积、面积或者解决实际问题为主，大约有15道选择题和2道问答题。

E．Indefinite Integral不定积分

（1）不定积分和导数的关系

（2）不定积分的公式（18个）

（3）U换元法求不定积分

*（4）分部积分法求不定积分

*（5）待定系数法求不定积分

F．Definite Integral 定积分

（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义

（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质

*（3）Accumulation function求导数

*（4）反常函数求积分

H．Application of Integral定积分的应用

（1）积分中值定理（I-MVT）

（2）定积分求面积、极坐标求面积

（3）定积分求体积，横截面体积

（4）求弧长

（5）定积分的物理应用

* 定积分，要知道Riemann Sum的4种表达形式：Left-hand , Right-hand , Mid-point and Trapezoid，每年都至少考一种，不需要特别记忆公式，在考试中只要大体画出图像就可轻松做出来。

4微分方程部分主要考可分离变量的微分方程和斜率场，大约有5道选择题。

I．Differential Equation微分方程

（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程

（2）斜率场65.无穷级数部分为（考试难点）只有BC考试，考试内容以泰勒级数、麦克劳林级数和拉格朗日余项为主，大约有1个问答题和5个选择题。

*J．Infinite Series无穷级数

（1）无穷级数的定义和数列的级数

（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法

（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数

（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数

（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差

* 常考的几个定理：微积分基本定理（FTC），中值定理（MVT），介值定理（IVT），其中FTC每年考的比重最大！对于IVT只要求函数是连续的，而对于MVT要求函数既是连续又是可导的，定理条件的判断特别容易出现。

▲注：微积分BC课程比AB课程考察内容更多，题目更难，AB的内容和难度大概相当于BC的1/2，多出的内容部分已经在上面用*号标出。

AP微积分应试方法与注意事项

1、答题时注意尽量写清楚详细的解题步骤。

2、大题通常是分成A,B,C,D等若干小题来提问的，一定要注意如果前边有不会的，不必停留在那，可以直接进入下一问的解答，而且可以利用前面的结果。

如若你要解一个未知数，先建立方程，在借助计算器求解未知数。类似地，如果使用计算器求定积分，先写出积分表达式，在用计算器求解，不写积分表达式同样得不到满分。

3、直接划掉错误的解法不会被计分。同样如果没有更好的解法，把划掉的解法留在那，有可能得一点儿分。

4、一定要记住计算器只可以画函数图像，计算导函数在某点的值，解方程，计算定积分。

除此之外，例如确定最大、最小值，曲线的凹凸性，曲线拐点，递增、递减，以及定义域、值域都不可以使用计算器来求解，而使用数学方法求解，当然可以借助计算器检验。

5、一定要仔细审题，确保已经完整的回答了问题。比如问题是求函数的最大值，仅仅求出了函数取最大值时相应的X的取值是不完整的，一定要给出最大值才行。

而且注意题目中如果有单位，答案一定要带单位。当然有些问题如果需要加以验证，一定要给阅卷老师另他（她）满意的理由。比如X=3是拐点，如何验证是拐点，一定要说明二阶导函数值在该点两侧变号才可以。

6、还要注意以下几点：

1）结果如果是无穷小数，则保留三位；

2）欧拉方法注意步长；反函数和原函数的x、y是对调的，导数是成倒数关系的，有时候想不清可以画图；

3）在求立体体积的题目里，是打横切还是打竖切这个要看清楚；

4）不会做的题目先把式子列出来，能够拿分，也可能写出来以后就会做了；

5）题目里面有单位的，算出来的答案也要带单位。