别人家学校的期末考试：一次函数难不难？

初中数学什么最难？ 一次函数来领衔！

是不是大吃一惊， 一次函数y=kx+b？ 除了正比例函数y=kx外，没有比它更菜的了。

先看看数学课本的题目是怎么样的？

已知点A（-1，a）和B(1,b)在函数y=-2x+m 的图像上，试比较a与b的大小。

乍一看三个未知数a,b,m很吓人，仔细一看该函数是单调递减的，自然a>b.轻松搞定，一点都不难！

实际上，一次函数在平面直角坐标系中表示一条直线，它是代数和几何的桥梁，把两者结合起来，很容易出中考的压轴题或者更难的名校自主招生题 甚至学术活动题。

先来一道简单的热热身。

易知AC=AB=2， 且△ABP与△ABC共底边AB，因两个三角形面积相等， 故顶点P到底边AB的高也为2. 如图，

如果使用点到直线距离公式， P点的坐标立刻就能求出来了。

不幸的是， 这个公式是高中课本的内容，如果出现在初中答题卷上，除非自己从头推导一遍，不然是一分不得的。

来看看如何用初中所学的内容求解。

如下图，延长BP交x轴于点Q,
∵P点坐标（a,1/2） ∴PH=1/2=OB/2
所以QH=OH=|a|,
S△ABQ= AQ * OB /2 = AQ/2
S△APQ= AQ * PH /2 = AQ /4
2=S△ABP= S△ABQ - S△APQ = AQ /4
∴ AQ =8.

再来看看一道填空题：

在平面直角坐标系中，y=0.5x - 6分别与x轴，y轴交于A,B两点。F(6,0)在x轴上，P，Q是线段AB上的两个动点， 如果△OPF ≌ △OPQ, 求P点的坐标。

由△OPF ≌ △OPQ可得，OQ=OF=6,  可以得到满足条件的两个Q点，其中有一个Q点和B点重合。

当Q点和B点重合时， 由∠POF=∠POB可以得到P点在y=-x上。

再联立方程y=0.5x-6， 易知P坐标为（4,-4）.

再看另外一个Q点， 根据两点之间距离公式， 由OQ=6,可以得到Q点坐标。
再由PQ=PF，可以解得P点坐标。这是代数解法。

几何解法也很有趣， 因为OP是∠AOQ的内角平分线， 根据内角平分线定理，
PQ: PA = OQ : OA = 6 : 12 = 1 : 2
又PF=PQ, 所以AP=2PF.
易知△APF 相似于 △AOB,  所以PF⊥AP.
Rt△APF中， 知道了斜边为6， 两直角边互为1:2， 高PH很容易求出来了，P点的坐标迎刃而解了。

再举一反三，我们会发现P，Q两点分别在线段AB的2/5, 3/5上！！
作OG⊥AB， 易知△OBG 相似于 △AOG 相似于△ABO,
若BG =b, 则 OG =2b, AG = 4b = 3a +b.
所以a=b, 很神奇吧！

再来一道综合题：

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2分别交x轴，y轴于A,B两点， C为A,B的中点。D是线段OA上的动点，|OD|<1, 连接CD并将CD绕D点顺时针旋转90°至DE， 交y轴于F点，过E点做x轴平行线交AB于G点。 求四边形BEFG面积的最小值。

动点，旋转， 极值问题？ 是不是有点晕？

下面是解题大概思路，

显然，EG⊥ BF, 四边形的面积等于(EG*BF) /2.
另∠A=45°， OA=OB=2. CD ⊥且 = DE
做垂线CM,EN，易知△CMD ≌ △ DNE

DN=CM=AM=1
令OD=m, ON=DM=1-m, EN=DM=1-m
所以∠EON=45°。 故OE//AG, EG=OA=2
相似三角形， DO: OF=DN:NE=1:(1-m)
所以OF=m(1-m),  当m=1/2时取最大值1/4
此时BF取最小值7/4, 四边形面积取最小值 2* 7/4 /2=7/4.

一道题综合了初中数学代数、几何的多个知识点，同学们可以自己梳理一下