1数论
一、质数和合数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
（2）自然数除 0 和 1 外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。
（3） 最小的质数是 2 ，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是 4。
（4） 质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），
可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或 1 与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个：
２、３、５、７、１１、１３、
１７、１９、２３、 ２９、３１、
３７、４１、４３、４７、５３、
５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．
二、整除性
（１）概念
一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0）， 除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说b 能整除 a），记作 b｜a。否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。
如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
（２）性质
性质 1：（整除的加减性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。
例如：如果 2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.
即：如果 bc｜a，那么 b｜a，c｜a。
性质 3：（整除的互质可积性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。
即：如果 b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。
例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质 4：（整除的传递性）如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。
即：如果 c｜b，b｜a，那么 c｜a。
例如：如果 3｜9，9｜27，那么 3｜27。
（３）数的整除特征
①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.
②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
判断能被 3（或 9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３ ５１７４６不能被９整除。
④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。
⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。
⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除，依此反复检验。
例如：判断 3546725 能否被 13 整除？
解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 821—2＝819，又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725.
上述办法也可以用来判断余数和末位数；
对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。
三、约数与倍数
（１）公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：４是12和16的最大公约数，
可记做：（12，16）＝４
（２）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作[12，18]=36。
（３）最大公约数和最小公倍数的关系
如果用 a 和 b 表示两个自然数
１、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍数）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数
４、（a，b）是 a＋b 和 a－b 的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的约数
（４）求最大公约数
方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：１、（短除法）用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
解 ：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是 15。
２、（分解质因数法）求１００１和３０８的最大公约数是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（这个质分解常用到） ，
３０８＝７×１１×４ 所以最大公约数是７×１１＝７７
在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。
３、（辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。
解：
∵4811=2×1981+849
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公 约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。
（５）约数个数公式
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。
例如：求 240 的约数的个数。
解：∵240＝24×31×51，
∴240 的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240 有 20 个约数。
四、奇偶性
（1） 奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。
最小的奇数是１ ，最小的偶数是０．
（2）奇数与偶数的运算性质
性质 1：偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数。
性质 2：偶数±奇数=奇数。
性质 3：偶数个奇数相加得偶数。
性质 4：奇数个奇数相加得奇数。
性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数
（３）反证法
例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.
请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.
但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.
先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.
这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
五、大小比较
1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
3.比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
六、数列
七、集合
八、函数
1、定义与定义式：
自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b
则此时称 y 是 x 的一次函数。
特别地，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。
即：y=kx(k 为常数，k≠0)
2、一次函数的性质：
1）.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即：y=kx+b(k 为任意不为零的实数 b 取任何实数)
2）.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。
3、一次函数的图像及性质：
1）.作法与图形：通过如下 3 个步骤(1)列表；
(2) 描点；
(3) 连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点， 并连成直线即可。(通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点)
2）.性质：
(1)在一次函数上的任意一点 P(x,y)，都满足等式：y=kx+b.
(2)一次函数与 y 轴交点的坐标总是(0，b)，与 x 轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
3）.k,b 与函数图像所在象限：
当 k>0 时，直线必通过一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k<0 时，直线必通过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。
当 b>0 时，直线必通过一、二象限；
当 b=0 时，直线通过原点
当 b<0 时，直线必通过三、四象限。
特别地，当 b=O 时，直线通过原点 O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当 k>0 时，直线只通过一、三象限；当 k<0 时，直线只通过二、四象限
4、确定一次函数的表达式：
已知点 A(x1，y1)；B(x2，y2)，请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为 y=kx+b.
(2) 因为在一次函数上的任意一点 P(x,y)，都满足等式 y=kx+b.所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b……①和 y2=kx2+b……②
(3) 解这个二元一次方程，得到 k,b 的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
5、一次函数在生活中的应用：
1. 当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt.
2. 当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量S.g=S-ft.
6、常用公式：
1. 求函数图像的 k 值：(y1-y2)/(x1-x2)
2. 求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3. 求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
2几何
一、几何面积知识点
1、基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
2、常用方法：
a. 连辅助线方法
b. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
c. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
d. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。
3、基础公式
1）长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2
2） 正方形的周长=边长×4C=4a
3） 长方形的面积=长×宽 S=ab
4） 正方形的面积=边长×边长 S=a.a=a
5） 三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
6） 平行四边形的面积=底×高 S=ah
7） 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8） 直径=半径×2d=2r 半径=直径÷2r=d÷2
9） 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr
10） 圆的面积=圆周率×半径×半径
二、立体图形相关公式
依次为：名称、图形特征、表面积、体积
长方体
8 个顶点，6 个面，相对的面相等，12 条棱，相对的棱相等；
S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
正方体
8 个顶点；6 个面，所有面相等，12 条棱，所有棱相等；
S=6a2 V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆，侧面展开后是长方形；
S=S 侧+2S 底
S 侧=Ch V=Sh
圆锥体
下底是圆，只有一个顶点，l：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离； S=S 侧+S 底
S 侧=rl V=Sh
球体
圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2 V=r3
三、三角形、圆1、两圆外离 d﹥R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
两圆内切 d=R-r(R﹥r)
两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
2、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
3、把圆分成 n(n≥3)：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形
4、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
5、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形
正 n 边形的面积
Sn=pnrn/2
p 表示正 n 边形的周长
正三角形面积√3a/4 ，a 表示边长
如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此 k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
6、弧长计算公式：L=n∏R/180
扇形面积公式：S 扇形=n∏R/360=LR/2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
7、勾股定理
性质
a.直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那 a2+b2=c2 b.勾股数互质
概念
在任何一个的直角三角形(Rt△)中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。
勾股数通式和常见勾股素数
若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。)
所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。
常见的勾股数及几种通式：
(1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … …
3n,4n,5n (n 是正整数)
(2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n 是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n 是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整数，m>n)
四、角角的大小与边的长短
没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角这 10 种。
以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。
此外，还有密位制、弧度制等。
锐角：大于 0°，小于 90°的角叫做锐角。
直角：等于 90°的角叫做直角。
钝角：大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。
平角：等于 180°的角叫做平角。
优角：大于 180°小于 360°叫优角。
劣角：大于 0°小于 180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
周角：等于 360°的角叫做周角。
负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
正角：逆时针旋转的角为正角。
0 角：等于零度的角。
余角和补角：两角之和为 90°则两角互为余角，两角之和为 180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等。
对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。
还有许多种角的关系，如内错角，同位角，同旁内角(三线八角中，主要用来判断平行)!
五、三角函数常用公式
tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=cosθ/sinθ
secθ=1/cosθ，cscθ=1/sinθ
分别用 cos 2θ与 sin 2θ来除 cos 2θ+sin 2θ=1，
可得： sec 2θ–tan 2θ=1 及 csc 2θ–cot 2θ=1
对于负角度，六个三角函数分别为：
sin(–θ)= –sinθ
csc(–θ)= –cscθ
cos(–θ)= cosθ
sec(–θ)= secθ
tan(–θ)= –tanθ
cot(–θ)= –cotθ
当两角度相加时，运用和角公式：
sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ
cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ
tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ
若遇到两倍角或三倍角，运用倍角公式：
sin2α=2sinαcosα
sin3α=3sinαcos2α–sin3α
cos2α=cos 2α–sin 2α
cos3α=cos 3α–3sin 2αcosα
tan 2α=2tanα/1–tan2α
tan3α=3tanα–tan 3α/1–3tan 2α
六、对称轴
①线段有两条对称轴，是这条线段的垂直平分线和线段所在的直线。
②角有一条对称轴，是角平分线所在的直线。
③等腰三角形有一条对称轴，是顶角平分线所在的直线。
④等边三角形有三条对称轴，分别是三个顶角平分线所在的直线。
⑤矩形有两条对称轴，是相邻两边的垂直平分线。
⑥正方形有四条对称轴，是相邻两边的垂直平分线和对角线所在的直线。
⑦菱形有两条对称轴，是对角线所在的直线。
⑧等腰梯形有一条对称轴，是两底垂直平分线。
⑨正多边形有与边数相同条的对称轴。
⑩圆有无数条对称轴，是任何一条直径所在的直线
3计算
一、常用计算公式
1、基数×点数=总数
总数÷点数=份数
总数÷份数=每份数
2、倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1 倍数=倍数
几倍数÷倍数=1 倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6、加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
二、竖式字谜
1、数字谜
一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。这种不完整的算式，就像谜一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、位数规律等）来进行正确的推理、判断。
2、解数字谜
一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。推理时应注意：
1. 数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0-9 中的某个数字；
2. 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；
3. 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；
数字谜解出之后，最好验算一遍。
三、基本运算
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：
①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。
4.系数与指数
区别与联系：①从位置上看；②从表示的意义上看 5.同类项及其合并
条件：①字母相同；②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
7.算术平方根
正数 a 的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别])
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：
①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。
4排列组合初步
5 其它应用题
一、行程问题
路程=速度×时间；
路程÷时间=速度；
路程÷速度=时间
关键问题确定行程过程中的位置路程
相遇路程÷速度和=相遇时间
相遇路程÷相遇时间= 速度
和相遇问题(直线)
甲的路程+乙的路程=总路程相遇问题(环形)
甲的路程 +乙的路程=环形周长追及问题
追及时间=路程差÷速度差 速度差=路程差÷追及时间
追及时间×速度差=路程差追及问题(直线)
距离差=追者路程-被追者路程=速度差 X 追及时间追及问题(环形)
快的路程-慢的路程=曲线的周长流水问题
顺水行程=(船速+水速)×顺水时间
逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速：(顺水速度-逆水速度)÷2
二、植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，
两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树
(1)不封闭线路的植树问题：
间隔数+1=棵数；(两端植树) 路长÷间隔长+1=棵数。
或间隔数-1=棵数；(两端不植) 路长÷间隔长-1=棵数；
路长÷间隔数=每个间隔长； 每个间隔长×间隔数=路长。
(2)封闭线路的植树问题： 路长÷间隔数=棵数；
路长÷间隔数=路长÷棵数=每个间隔长；
每个间隔长×间隔数=每个间隔长×棵数=路长。
(3)平面植树问题：
占地总面积÷每棵占地面积=棵数
