1数论一、质数和合数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
（2）自然数除 0 和 1 外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。
（3） 最小的质数是 2 ，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是 4。
（4） 质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），
可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或 1 与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个：
２、３、５、７、１１、１３、
１７、１９、２３、 ２９、３１、
３７、４１、４３、４７、５３、
５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．
二、整除性（１）概念
一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0）， 除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说b 能整除 a），记作 b｜a。否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。
如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
（２）性质
性质 1：（整除的加减性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。
例如：如果 2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.
即：如果 bc｜a，那么 b｜a，c｜a。
性质 3：（整除的互质可积性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。
即：如果 b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。
例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质 4：（整除的传递性）如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。
即：如果 c｜b，b｜a，那么 c｜a。
例如：如果 3｜9，9｜27，那么 3｜27。
（３）数的整除特征
①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.
②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
判断能被 3（或 9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３ ５１７４６不能被９整除。
④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。
⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。
⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除，依此反复检验。
例如：判断 3546725 能否被 13 整除？
解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 821—2＝819，又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725.
上述办法也可以用来判断余数和末位数；
对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。
三、约数与倍数（１）公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：４是12和16的最大公约数，
可记做：（12，16）＝４
（２）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作[12，18]=36。
（３）最大公约数和最小公倍数的关系
如果用 a 和 b 表示两个自然数
１、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍数）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数
４、（a，b）是 a＋b 和 a－b 的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的约数
（４）求最大公约数
方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：１、（短除法）用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
解 ：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是 15。
２、（分解质因数法）求１００１和３０８的最大公约数是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（这个质分解常用到） ，
３０８＝７×１１×４ 所以最大公约数是７×１１＝７７
在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。
３、（辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。
解：
∵4811=2×1981+849
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公 约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。
（５）约数个数公式
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。
例如：求 240 的约数的个数。
解：∵240＝24×31×51，
∴240 的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240 有 20 个约数。
四、奇偶性（1） 奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。
最小的奇数是１ ，最小的偶数是０．
（2）奇数与偶数的运算性质
性质 1：偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数。
性质 2：偶数±奇数=奇数。
性质 3：偶数个奇数相加得偶数。
性质 4：奇数个奇数相加得奇数。
性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数
（３）反证法
例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.
请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.
但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.
先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.
这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
五、大小比较1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
3.比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
六、代数式1、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。
注意：
(1) 单个数字与字母也是代数式;
(2) 代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;(3)代数式 可按运算关系和运算结果两种情况理解。
2、整式：单项式与多项式统称为整式。
1）.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
2）.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
3、升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
七、实数基础实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。
实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种。
公理的方法设 R 是所有实数的集合，则：
集合 R 是一个域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等常见性质。
域 R 是个有序域，即存在全序关系≥ ，对所有实数 x, y 和 z：
若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;
若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。
集合 R 满足完备性，即任意 R 的有空子集 S ( S∈R，S≠Φ)，若 S 在 R 内有上界，那么S 在 R 内有上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5;但是不存在有理数上确界(因为 √2 不是有理数)。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。
相关性质基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和 0)还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
八、数列
九、中位数将数据排序后，位置在最中间的数值。
即将数据分成两部分，一部分大于该数值，一部分小于该数值。
中位数的位置：当样本数为奇数时，中位数=(N+1)/2 ;
当样本数为偶数时，
中位数为 N/2 与 1+N/2 的均值
与此类似的还有：
四分位数 （Quartitles）
百分位数（Percentile）
十分位数 （Decile）
理性认识：把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值） 叫做这组数据的中位数。
中位数的算法：求中位数时，首先要先排序（从小到大），然后计算中位数的序号，分数据为奇数个与偶数个两种来求.
中位数算出来可避免极端数据，代表着数据总体的中等情况。
如果总数个数是奇数的话,按从小到大的顺序,取中间的那个数
如果总数个数是偶数个的话,按从小到大的顺序,取中间那两个数的平均数众数
定义：是一组数据中出现次数最多的那个数值，就是众数，有时众数在一组数中有好几个。
用 M 表示。
理性理解：简单的说，就是一组数据中占比例最多的那个数。
用众数代表一组数据，可靠性较差，不过，众数不受极端数据的影响，并且求法简便
在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
当数值或被观察者没有明显次序（常发生于非数值性资料）时特别有用，由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。
例子：{鸡、鸭、鱼、鱼、鸡、鱼}的众数是鱼。
众数算出来是销售最常用的，代表最多的众数是在一组数据中,出现次数最多的数据， 两组数据中,都是 1,2 出现次数最多 ，所以 1,2 是众数
例如：1，2，3，3，4 的众数是 3。
但是，如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数。
例如：1，2，2，3，3，4 的众数是 2 和 3。
还有，如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据没有众数。
例如：1，2，3，4，5 没有众数。
在高斯分布中，众数位于峰值。
2几何一、几何面积知识点1、基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
2、常用方法：
a. 连辅助线方法
b. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
c. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
d. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。
3、基础公式
1）长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2
2） 正方形的周长=边长×4C=4a
3） 长方形的面积=长×宽 S=ab
4） 正方形的面积=边长×边长 S=a.a=a
5） 三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
6） 平行四边形的面积=底×高 S=ah
7） 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8） 直径=半径×2d=2r 半径=直径÷2r=d÷2
9） 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr
10） 圆的面积=圆周率×半径×半径
二、立体图形相关公式
依次为：名称、图形特征、表面积、体积
长方体
8 个顶点，6 个面，相对的面相等，12 条棱，相对的棱相等;
S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
正方体
8 个顶点;6 个面，所有面相等，12 条棱，所有棱相等;
S=6a2 V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆，侧面展开后是长方形;
S=S 侧+2S 底
S 侧=Ch V=Sh
圆锥体
下底是圆，只有一个顶点，l：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S 侧+S 底
S 侧=rl V=Sh
球体
圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2 V=r3
三、三角形、圆1、两圆外离 d﹥R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
两圆内切 d=R-r(R﹥r)
两圆内含 d﹤R-r(R﹥r)
2、相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
3、把圆分成 n(n≥3)：
依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形
4、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
5、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形
正 n 边形的面积
Sn=pnrn/2
p 表示正 n 边形的周长
正三角形面积√3a/4 ，a 表示边长
如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，由于这些角的和应为 360°，因此 k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
6、弧长计算公式：L=n∏R/180
扇形面积公式：S 扇形=n∏R/360=LR/2
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
7、勾股定理
性质
a.直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那 a2+b2=c2 b.勾股数互质
概念
在任何一个的直角三角形(Rt△)中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方(也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等)。
勾股数通式和常见勾股素数
若 m 和 n 是互质，而且 m 和 n 至少有一个是偶数，计算出来的 a, b, c 就是素勾股数。(若 m 和 n 都是奇数， a, b, c 就会全是偶数，不符合互质。)
所有素勾股数(不是所有勾股数)都可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。
常见的勾股数及几种通式：
(1) (3， 4， 5), (6， 8，10) … …
3n,4n,5n (n 是正整数)
(2) (5，12，13) ,( 7，24，25), ( 9，40，41) … …
2n + 1, 2n^2 + 2n, 2n^2 + 2n + 1 (n 是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … …
2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1 (n 是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2 (m、n 均是正整数，m>n)
四、角角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
在动态定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角这 10 种。
以度、分、秒为单位的角的度量制称为角度制。
此外，还有密位制、弧度制等。
锐角：大于 0°，小于 90°的角叫做锐角。
直角：等于 90°的角叫做直角。
钝角：大于 90°而小于 180°的角叫做钝角。
平角：等于 180°的角叫做平角。
优角：大于 180°小于 360°叫优角。
劣角：大于 0°小于 180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
周角：等于 360°的角叫做周角。
负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
正角：逆时针旋转的角为正角。
0 角：等于零度的角。
余角和补角：两角之和为 90°则两角互为余角，两角之和为 180°则两角互为补角。
等角的余角相等，等角的补角相等。
对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。
两条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相等。
还有许多种角的关系，如内错角，同位角，同旁内角(三线八角中，主要用来判断平行)!
3计算一、常用计算公式1、基数×点数=总数
总数÷点数=份数
总数÷份数=每份数
2、倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1 倍数=倍数
几倍数÷倍数=1 倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6、加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
二、竖式字谜1、数字谜
一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。这种不完整的算式，就像谜一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、位数规律等）来进行正确的推理、判断。
2、解数字谜
一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。推理时应注意：
1. 数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0-9 中的某个数字；
2. 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；
3. 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；
数字谜解出之后，最好验算一遍。
4.排列组合初步一、解排列组合问题首先要弄清一件事是"分类"还是"分步"完成,对于元素之间的关系,还要考虑"是有序"的还是"无序的",也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理,排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:
1、特殊优先法
