一、数论
一、质数和合数（1）一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
（2）自然数除 0 和 1 外，按约数的个数分为质数和合数两类。
任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。
（3） 最小的质数是 2 ，2 是唯一的偶质数，其他质数都为奇数；最小的合数是 4。
（4） 质数是一个数，是含有两个约数的自然数。
互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），
可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或 1 与另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（６）１００以内的质数有２５个：
２、３、５、７、１１、１３、
１７、１９、２３、 ２９、３１、
３７、４１、４３、４７、５３、
５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７．
二、整除性
（１）概念
一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b=c，即整数 a 除以整除 b（b 不等于 0）， 除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是 0），我们就说，a 能被 b 整除（或者说b 能整除 a），记作 b｜a。否则，称为 a 不能被 b 整除（或 b 不能整除 a）。
如果整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。
（２）性质
性质 1：（整除的加减性）如果 a、b 都能被 c 整除，那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 c｜a，c｜b，那么 c｜（a±b）。
例如：如果 2｜10，2｜6，那么 2｜（10＋6），并且 2｜（10—6）。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。
性质 2：如果 b 与 c 的积能整除 a，那么 b 与 c 都能整除 a.
即：如果 bc｜a，那么 b｜a，c｜a。
性质 3：（整除的互质可积性）如果 b、c 都能整除 a，且b 和 c 互质，那么 b 与 c 的积能整除 a。
即：如果 b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么 bc｜a。
例如：如果 2｜28，7｜28，且（2，7）=1，那么（2×7）｜28。
性质 4：（整除的传递性）如果 c 能整除 b，b 能整除 a，那么 c 能整除 a。
即：如果 c｜b，b｜a，那么 c｜a。
例如：如果 3｜9，9｜27，那么 3｜27。
（３）数的整除特征
①能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.
②能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3（或 9）整除。
判断能被 3（或 9）整除的数还可以用“弃３（或９）法”：
例如：８３５１７４６能被９整除么？
解：８＋１＝９，３＋６＝９，５＋４＝９，在数字中只剩７，７不是９的倍数，所以８３ ５１７４６不能被９整除。
④能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整除。
⑤能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125）整除。
⑥能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7（11 或 13）整除，依此反复检验。
例如：判断 3546725 能否被 13 整除？
解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821 分为 2 和 821 两个数，因为 821—2＝819，又 13｜819，所以 13｜2821，进而 13｜3546725.
上述办法也可以用来判断余数和末位数；
对于其他的数，可以将其分解成上述几个互质的数的乘积，再逐个考虑。
三、约数与倍数
（１）公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：４是12和16的最大公约数，
可记做：（12，16）＝４
（２）公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：36 是 12 和 18 的最小公倍数，记作[12，18]=36。
（３）最大公约数和最小公倍数的关系
如果用 a 和 b 表示两个自然数
１、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：
（a，b）×[a，b]=a×b。（多用于求最小公倍数）
２、（a，b） ≤ a ，b ≤ [a，b]
３、[a，b]是（a，b）的倍数，（a，b）是[a，b]的约数
４、（a，b）是 a＋b 和 a－b 的约数，也是（a，b）＋[a，b]和（a，b）－[a，b]的约数
（４）求最大公约数
方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗转相除法。
例如：１、（短除法）用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
解 ：∵ （30，60，75）=5×3=15 这个数最大是 15。
２、（分解质因数法）求１００１和３０８的最大公约数是多少？
解：１００１＝７×１１×１３（这个质分解常用到） ，
３０８＝７×１１×４ 所以最大公约数是７×１１＝７７
在这种方法中，先将数进行质分解，而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。
３、（辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。
解：
∵4811=2×1981+849
1981=2×849+283，
849=3×283，
∴（4811，1981）=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的最大公 约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最后结果。
（５）约数个数公式
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加 1 的连乘的积。
例如：求 240 的约数的个数。
解：∵240＝24×31×51，
∴240 的约数的个数是
（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，
∴240 有 20 个约数。
四、奇偶性
（1） 奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用 2k（k 为整数）表示，奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。
最小的奇数是１ ，最小的偶数是０．
（2）奇数与偶数的运算性质
性质 1：偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数。
性质 2：偶数±奇数=奇数。
性质 3：偶数个奇数相加得偶数。
性质 4：奇数个奇数相加得奇数。
性质 5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数
（3）反证法
例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”.
请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下，必须经过 9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.
但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。
这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.
先假设某种说法正确，再利用假设说法和其他性质进行分析推理，最后得到一个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立.
这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
五、有理数
(1)求相同因数的积的运算叫做乘方.乘方运算的结果叫幂.
一般地，读作：a 的 n 次方，表示 n 个 a 相乘;其中，a 是底数，n 是指数，称为幂。
(2)正数的任何次幂都是正数.
负数的奇数次幂是负数， 负数的偶数次幂是正数.
(3)一个数的平方为它本身，这个数是 0 和 1; 一个数的立方为它本身，这个数是 0、1 和-1。
六、一元二次方程
1. 一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数;
(2) 且未知数次数最高次数是 2;
(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理
如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足(a≠0)
3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理， 都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数;bx 是一次项，b 是一次项系数;c 是常数项。
七、一次函数
定义：一般地，形如 y=kx+b(k、b 是常数 ，k≠0)的函数，叫一次函数。
(存在条件: ①两个变量 x、y，②k、b 是常数且 k≠0，③自变量 x 的次数是 1，④自变量 x 的是整式形式)
一次函数与正比例函数关系: 正比例函数包含于一次函数，即正比例函数是一次函数;正比例函数是一次函数当 b=0 时的特殊情况。
一次函数性质：以下各条性质反之也成立。
①图像形：是一条直线。称为直线 y=kx+b
②象限性:
当 k>0、b>0 时，直线经过第一、二、三象限，不过四象限。
当 k>0、b<0 时，直线经过第一、三、四象限。
不过二象限当 k<0 、b>0 时，直线经过第一、二，四象限。不过三象限
当 k<0 、b<0 时，直线经过第二，三、四象限。不过一象限
③增减性：当 k>0 时，直线从左向右上升，随着 x 的增大(减小) y 也增大(减小) 当 k<0 时，直线从左向右下降。随着 x 的增大(减小) y 反而而减小(增大)
④连续性：由于自变量取值是全体实数，所以图像具有连续性。(没有最大或最小值)
⑤截距性;当 b>0 时，直线与 y 轴交于 y 轴正半轴(交点位于轴上方) 当 b<0 时，直线与 y 轴交于 y 轴负半轴(交点位于轴下方)
⑥倾斜性:︱k︱越大，直线越靠向 y 轴，与 x 轴正方向的夹角度数越大，越陡。
⑦平移性; 直线 y=kx+b
当 b>0 时，是由直线 y=kx 向上平移得到的。当 b<0 时，是由直线 y=kx 向下平移得到的。
待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：
①设函数表达式为：y=kx 或 y=kx+b
②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)
③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意：正比例函数 y=kx 只要有一个条件就可以。而一次函数 y=kx+b 需要有两个条件。
一次函数与一元一次方程的关系
一元一次方程ax+b=0(a，b 为常数，且 a≠0)可看作一次函数 y=ax+b 的函数值是 0 的一种特例，其解是直线 y=ax+b 与 x 轴交点的横坐标，所以解一元一次方程 ax+b=0 可以转化为当一次函数 y=ax+b 的值为0 时，求相应自变量 x 的值，因此可以利用图像来解一元一次方程。
求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令 y=0，得到一元一次方程kx+b=0，解方程得 x=- ，则- 就是直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标。
反过来解一元一次方程也可以看作是求直线y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标的值。
八、至多至少问题
至少：就是取满足条件中所有数的最小值.这句话有两个意思，第一，在指定集合范围内，必须都满足要求，第二，指定集合存在最小值.
例如，已经-x²≤a 在所有实数都成立，那么 a 的最小值是多少. 第一，先求出满足-x²≤a 所有 a 的值，显然只要 a≥0，
第二，a=0 是这个集合的最小值，所以 a 的最小值是 0. 两个条件之中有一个不满足，就没有最小值。
至多：就是取满足条件中所有数的最大值.这句话也有两个意思，第一，在指定集合范围内，必须都满足要求，第二，指定集合存在最大值。
一、平行线问题
1. 有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，
通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2. 判定两个平面平行的方法：
(1) 根据定义--证明两平面没有公共点;
(2) 判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;
(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3. 两个平面平行的主要性质：
(1) 由定义知：“两平行平面没有公共点”;
(2) 由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;
(3) 两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;
(4) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;
(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
以上性质(2)、(4)、(5)、(6)在课文中虽未直接列为“性质定理”，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。
二、几何面积
1、基本思路：
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算;另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
2、常用方法：
a. 连辅助线方法
b. 利用等底等高的两个三角形面积相等。
c. 大胆假设(有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上)。
d. 利用特殊规律
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。(斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积)
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。
③圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。
3、基础公式
1）长方形的周长=(长+宽)×2C=(a+b)×2
2） 正方形的周长=边长×4C=4a
3） 长方形的面积=长×宽 S=ab
4） 正方形的面积=边长×边长 S=a*a=a2
5） 三角形的面积=底×高÷2S=ah÷2
6） 平行四边形的面积=底×高 S=ah
7） 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2S=(a+b)h÷2
8） 直径=半径×2d=2r 半径=直径÷2r=d÷2
9） 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2c=πd=2πr
10） 圆的面积=圆周率×半径×半径
三、立体图形相关公式
依次为：名称、图形特征、表面积、体积
长方体
8 个顶点，6 个面，相对的面相等，12 条棱，相对的棱相等;
S=2(ab+ah+bh) V=abh=Sh
正方体
8 个顶点;6 个面，所有面相等，12 条棱，所有棱相等;
S=6a2 V=a3
圆柱体
上下两底是平行且相等的圆，侧面展开后是长方形;
S=S 侧+2S 底
S 侧=Ch V=Sh
圆锥体
下底是圆，只有一个顶点，l：母线，顶点到底圆周上任意一点的距离; S=S 侧+S 底
S 侧=rl V=Sh
球体
圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。
S=4r2 V=r3
一、常用计算公式
1、基数×点数=总数
总数÷点数=份数
总数÷份数=每份数
2、倍数×倍数=几倍数
几倍数÷1 倍数=倍数
几倍数÷倍数=1 倍数
3、速度×时间=路程
路程÷速度=时间
路程÷时间=速度
4、单价×数量=总价
总价÷单价=数量
总价÷数量=单价
5、工作效率×工作时间=工作总量
工作总量÷工作效率=工作时间
工作总量÷工作时间=工作效率
6、加数+加数=和
和-一个加数=另一个加数
7、被减数-减数=差
被减数-差=减数
差+减数=被减数
8、因数×因数=积
积÷一个因数=另一个因数
9、被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商×除数=被除数
二、大小比较
1.比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大;最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
2.比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
3.比较分数的大小：分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
三、竖式字谜
1、数字谜
一般是指那些含有未知数字或未知运算符号的算式。这种不完整的算式，就像谜一样，要解开这样的谜，就得根据有关的运算法则、数的性质（和差积商的位数，数的整除性、奇偶性、位数规律等）来进行正确的推理、判断。
2、解数字谜
一般是从某个数的首位或末位数字上寻找突破口。推理时应注意：
1. 数字谜中的文字、字母或其它符号，只取 0-9 中的某个数字；
2. 要认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件；
3. 必要时应采用枚举和筛选相结合的方法（试验法），逐步淘汰掉那些不符合题意的数字；数字谜解出之后，最好验算一遍。
4. 排列组合初步一、解排列组合问题首先要弄清一件事是"分类"还是"分步"完成，对于元素之间的关系，还要考虑"是有序"的还是"无序的"，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理，排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法:
1、特殊优先法
对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.
例如:用 0，1，2，3，4 这5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有___个.(答案:30 个)
2、科学分类法
对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如:从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有___种.(答案:350)
3、插空法
解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如:7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是___.(答案:3600)
捆绑法相邻元素的排列，可以采用"整体到局部"的排法，即将相邻的元素当成"一个"元素进行排列，然后再局部排列例如:6 名同学坐成一排，其中甲，乙必须坐在一起的不同坐法是___种.(答案:240)
4、排除法
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
二、其他解题方法
1、分类加法计数原理
完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法‥‥‥则总共有m1+m2+…+mn 种方法。
2、枚举法
在进行归纳推理时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么这结论是可靠的，这种归纳方法叫做枚举法。
采用枚举算法解题的基本思路：
（1）确定枚举对象、枚举范围和判定条件；
（2）枚举可能的解，验证是否是问题的解。
三、解题原理
1、加法原理：分类枚举
2、乘法原理：排列组合
3、容斥原理：
① 总数量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
② 常用：总数量=A+B-AB
5. 其它应用题一、时钟问题时钟的表盘有 60 小格，12 大格，1 小格为 6 度，1 大格为 30 度， 走 1 小时，时针为 30 度，分针为 360 度，秒针为 360*60 度;
走 1 分钟，时针为 0.5 度，分针为 6 度，秒针为 360 度;
走 1 秒钟，时针为 1/120 度，分针为 1/10 度，秒针为 6 度.
以格/分为单位，分针的速度是 1 格/分，时针速度是 5 格/小时=1/12 格/分以度/分为单位，分针的速度是 360°/60=6°/分，时针速度是 6*1/12=0.5°/分
两针重合所需分钟数=原两针相隔格数/（1-1/12）
或=原两针相隔度数/（6°-0.5°）
两针成直线（不含重合）所需分钟数=（原两针相隔格数±30）/（1-1/12）或=（原两针相隔度数±180°）/（6°-0.5°）
两针成直角所需分钟数=（原两针相隔格数±15）/（1-1/12）或=(原两针相隔度数±90°）/（6°-0.5°）
二、单位换算
1、长度单位
1 千米=1000 米，1 米=10 分米，1 米=10 分米=100 厘米=1000 毫米
1 分米=10 厘米，1 米=100 厘米，1 分米=10 厘米=100 毫米
1 厘米=10 毫米，1 千米=1000 米
2、面积单位
1 平方千米=100 公顷，1 平方米=100 平方分米，1 公顷=10000 平方米，
1 平方分米=100 平方厘米，1 平方米=100 平方分米，1 立方米=1000 立方分米，
1 平方分米=100 平方厘米，
1 立方分米=1000 立方厘米，
1 平方厘米=100 平方毫米
3、体积单位
1 立方米=1000 立方分米，
1 立方厘米=1 毫升，
1 立方分米=1000 立方厘米
1 立方米=1000 升，
1 立方分米=1 升
4、重量单位
1 吨=1000 千克，
1 斤=500 克，
1 千克=1000 克，
1 克=1000 毫克，
1 升=1000 毫升，
1 千克=1 公斤
5、时间单位
1 小时=60 分，1 分=60 秒，
1 日=24 小时，1 时=3600 秒，
1 年=12 月
大月(31 天)有:135781012 月，
小月(30 天)的有:46911 月
三、追击相遇问题基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系。
基本公式：路程=速度×时间;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间
关键问题：确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程(请写出其他公式)
追及问题：追及时间=路程差÷速度差(写出其他公式)
流水问题：顺水行程=(船速+水速)×顺水时间 逆水行程=(船速-水速)×逆水时间
顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速
静水速度=(顺水速度+逆水速度)÷2
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。
主要方法：画线段图法
基本题型：已知路程(相遇路程、追及路程)、时间(相遇时间、追及时间)、速度(速度和、速度差)中任意两个量，求第三个量。
