拓扑数据分析研究

拓扑是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的一个学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现的一些孤立的问题，在后来的拓扑学的形成中占着重要的地位。今天小编推荐的学研项目就是【科研论文】拓扑数据分析研究。

什么是拓扑定义

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。中国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

拓扑的性质

拓扑的中心任务是研究拓扑性质中的不变性。

拓扑性质有那些呢？首先我们介绍拓扑等价，这是比较容易理解的一个拓扑性质。

在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

应指出，环面不具有这个性质。设想，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

课题简介

在过去的几年里，商业、科学和技术的许多进步都依赖于深度学习和人工智能的惊人进步。这些成就更加彰显了在各种实际情况下产生的大数据分析、提取和应用的重要性。拓扑数据分析(TDA)，顾名思义，就是把拓扑学与数据分析结合的一种分析方法，用于深入研究大数据中潜藏的有价值的关系。拓扑学研究的是一些特殊的几何性质，这些性质在图形连续改变形状后还能继续保持不变，称为“拓扑性质”，而在复杂的高维数据内部也存在着类似的结构性质。相比于主成分分析、聚类分析这些常用的方法，TDA 不仅可以有效地捕捉高维数据空间的拓扑信息，而且擅长发现一些用传统方法无法发现的小分类，具有更大的研究价值。在本课程中，教授将带领大家学习基本的拓扑数据分析知识，并讲述更多实际应用案例，在理论与实践相结合的基础上，帮助学生实现学以致用。

★ 学习拓扑的基本理论和技术

★ 拓扑理论在数据科学领域的实际应用

★ 通过问题的解决，提升自我科研分析能力，扩大知识理解范围

★ 如何进科学调研以及如何撰写科研报告和学术文章

研究方向

数学/应用数学/工程应用/数据科学/计算机科学

项目班型

3-5人科研小班

项目导师

美国名校教授，课题导师/论文导师

Professor DL

美国数学研究协会主席

斯坦福大学应用数学教授

马里兰大学数学科学院院长

加州伯克利大学应用数学荣誉教授

适合学生

9-12年级高中在读, 相关专业本科，研究生

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