来自美国的奥数难题，我用了35分钟才做出来

今天的题目是不定方程问题，来自美国的一次数学学术活动，

正文题目所需知识不超过初中3年级，思考题所需知识不超过小学5年级。

花一点时间看明白这道难题，比做10道简单题目更有益处，一定能大幅提升数学思维。

题目（超5星难度）：

不定方程x^2+y^2+z^2=5xyz有多少组正整数解？

注：x^2表示x的平方。

辅导方法：

将题目写给小朋友，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于不定方程问题，

又被称作丢番图问题，

这类问题并没有固定解法，

只能通过灵机一动来解题。

面对这种题目首先要考虑有没有解，

假设解存在看能否推出矛盾。

总的解题思路是：

假设这个方程有正整数解，

由于x,y,z的对称性，

不妨考虑x >= y>= z的正整数解中，

使x最小的一组解。

把原方程看作关于x的一元二次方程，

利用一元二次方程解的性质，

想办法推出矛盾。

步骤1：

先思考第一个问题，

假设这个方程有正整数解，

考虑所有x >= y>= z的正整数解中，

使x最小的一组解x=a,y=b,z=c,

找出a,b,c之间的大小关系。

此时原方程可以写成：

x^2-(5bc)x+(b^2+c^2)=0。

将其看作关于x的一元二次方程，

则a是它的一个解，

它一定还有另一个解p。

根据一元二次方程解的理论，

a+p=5bc是正整数，

由于p明显不是0，

故p也是正整数，

则x=p,y=b,z=c也是原不定方程的解。

由于a是最小的x，故a<=p。

另一方面根据一元二次方程解的理论，

可得ap=b^2+c^2，

故a^2 <=  ap = b^2+c^2 <(b+c)^2，

这说明a<b+c,

另一方面由于c<=b<=a，

因此c <= b <= a < b+c。

步骤2：

再思考第二个问题，

考虑原题目的答案。

如果原方程有正整数解，

则对于步骤1中的a,b,c，

有a^2+b^2+c^2=5abc,

化简即5= a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)。

由于c <= b，故c/(ab) <= 1/a <= 1，

由于b <= a，故b/(ac) <= 1/c <= 1，

由于a < b+c，

故a/(bc) < (b+c)/(bc)

= 1/b+1/c <=2。

因此5= a/(bc)+b/(ac)+c/(ab)

< 2+1+1 =4,

这与常识矛盾，

出现矛盾的原因是假设不成立，

所以原方程没有正整数解。