圆中的最值问题

最简单的道理

圆中最长的弦是直径。直径不可能不是最长的弦．

在上面的图中，如果AC≥AB，又AB=AO+CO，那么AC≥AO+CO．

这是与“三角形两边之和大于第三边”矛盾了．所以，圆中最长的弦是直径．

看一个动态的图

看了上面的动态图，想必你已经知道“不在一直线上的三点确定一个圆”了

再看一个你已经知道的定理

圆的内接四边形对角互补．

反之，如何让四个点同在一个圆上呢？

只要让以这四个点为顶点的四边形的对角互补就可以了．

引入正题

如图，C、D是在以AB为直径的⊙O上滑动的两点且与A、B两点不重合，E是CD的中点，过点C作CE⊥AB于点E，若CD=4，AB=10，则EM 的最大值是______．

思考一下，再往下看。。。。

略解

连结OM∵M是CD的中点，∴OM⊥CD，∴∠CEM+∠CMO=180度，∴C、E、O、M四点共圆．∵∠CEM=90度，∴CO是这个圆的直径，∴EM≤CO=5，即EM的最大值是5．

（CD=4这个条件是没有用的，你发现了吗？）

动图解释

本题考查要点：

直径最长垂径定理的推论四点共圆的判定

没有为国王特设的通往几何学的道路。——Euclid（欧几里得）音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。

——丘成桐