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从AwesomeMath看中美数学竞赛教学体系

Category: 国际竞赛 Date: 2019年9月21日下午2:32

今年暑假里，我在美国西雅图普吉特湾大学参加了为期3周的AwesomeMaths数学培训活动。这是一个为美国数学学术活动服务的高强度（intense）训练营，有多种课程供不同程度的学生选择。在营地的学习与活动中，我结交了许多来自世界各地的朋友，也对各个国家的情况稍作了一些了解，尤其是美国的数学学术活动培训机制。

令我意想不到的是，美国数学培训的方方面面与中国大相径庭，无论是从内容还是形式上来看，都有许多不同之处。在这篇论文中，我们将通过几个定理系统地刻画这两者教育体系的不同点。

Theorem 1. 美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识。

Proof. 我们进行分类讨论：Case 1. 数论。

数论是一门非常神奇的学科。在中国，几乎所有的数论课程最多也就涵盖下面这些知识点：

素数与合数，最小公倍数与最大公约数，整除，进制，不定方程，高斯函数，同余，著名的数论定理，升幂定理，阶与原根，二次剩余，多项式

也许有些课程中会提到狄利克雷（Dirchlet）定理等，不过老师们对这些定理的介绍千篇一律：顺便提一句，有这么个定理，考试不能用。

某IMO金牌大神上课时也表示：我们对素数一无所知，像Dirchlet定理这样的东西我们就不讲了。

可是在AwesomeMaths Level 3 数论讲义中的知识和定理，远远超出了上述的考纲。它与中国讲义中对这些定理避之不及的态度恰恰相反，第一讲就从研究素数开始，依次介绍了以下的几个引理：

1. 不大于n的所有素数乘积有怎样的上界？

2. 不大于n的所有素数倒数和有怎样的下界？

3. 不大于n的素数个数有怎样的上界？

4. 不大于n的素数个数有怎样的下界？

并借助它们证明了Bertand's Postulate：对每个不小于4的正整数n，在(n, 2n-2]上存在素数。这些问题都需要借助一些较为困难的量级判断与估算，显然不在学术活动考题的研究范围之内，但是据老师所说介绍这些知识是为了 “convince you that number theory is wonderful”。

这本讲义的后面几个部分引入了更为高深的知识：Group theory, euclidean rings, finite fields, Jacobi sum, Jacobi conjecture, Dirchlet theorem，不过同时也与它们在初等数学中的运用进行了有趣的结合。

（1）每天下午的Level 3课程分为数论和几何，数论教室非常冷清，只有6个人；而几何教室则有二十余个学生。我也属于那二十余个学生中的一员，只是偶尔也会和数论课的学生讨论他们的问题。（2）数论课的同学音乐天赋超群，某位同学以Zsigmondy's theorem为主题创作了几首“脍炙人口”的童谣。

（3）数论课的老师是一位泰国的数学家。他说如果班上的6位学生加起来能做出习题集中50%的问题，第一周就没有考试。这几位同学每天晚上放弃娱乐时间，快马加鞭地赶作业，最后在群众（例如我）的帮助下完成了任务。到了第二周，老师故技重施，要求他们做出习题集中70%的问题；同学们果断地放弃了……

Case 2. 组合几何。AwesomeMaths几何课程的最后几天讲的是组合几何知识，老师主要介绍并（艰难地）证明了一个不太熟知的定理：

Szemeredi-Trotter Theorem. 设P为一个点集，L为一个直线集，定义(P, L)的巧合数是满足以下条件的二元组(A, l)的数量：A在P中，l在L中，A在直线l上。那么，(P, L)的巧合数 =O(|P|^(2/3)|L|^(2/3)+|P|+|L|)。

为了给出它的证明，老师又讲解了许多其它定理，包括欧拉公式，有关平面图的不等式，以及crossing number inequality。（到后面全班昏昏欲睡……）

当然，如果你不去关心这个定理的证明，考虑如何运用它解决问题也是很有意思的。例如以下几个问题都可以被化为Szemeredi-Trotter Theorem：

设P是一个点集，T(P)是满足以下条件的二元组(A, B)构成的集合：A, B都在P中，且|AB|=1。证明|T(P)|=O( |P|^(3/2))。

设P是一个点集，证明它们构成的直角三角形个数=O(|P|^(7/3))。（这个问题还需要反演！）

（1）我们的几何老师Cosmin是罗马尼亚人，曾经是罗马尼亚IMO队的一员。他当年没有做出IMO的几何题，但现在几何能力却非常强，甚至有一个以自己命名的三角形特殊点——X3333。（2）Cosmin给我们做的习题有很多都是他自己出的；然而他忘了应该怎么做……

（3）Cosmin经典语录：Stalking is the highest form of flattery. That's what I tell all the girls!

（4）Cosmin的授课方式让我联想起了一位曾经的中国国家队队员：艾颖华老师。他上次在新星营介绍了Burnside引理、庞加莱猜想等令人望而生畏的高深知识，并谈了谈高等背景视角下的CMO命题。同学们纷纷感到崩溃……

Case 3. 代数。虽然在中国函数方程并不热门，但柯西方程总还是比较“家喻户晓”的。可是，最近阅读Titu Andreescu 等人所写的一本函数方程书却让我发现：我对柯西方程完全一无所知！

原来，这些作者感兴趣的并不是柯西方程在特定条件下的解。他们研究的问题是：如何用某种一一映射来表示出柯西方程的非平凡解？不同的值域与不同的定义域导致了许多种复杂的情形。第一章主要介绍这些内容，充斥着各种高等的记号：他们提到了选择公理，Hamel Basis等。

然后在第二章，他们又开始介绍柯西方程的推广：琴生方程，线性柯西方程，Pexider方程，Vincze方程，幂平均方程。

还有更多你从来没见过的名字：D'Alembert方程，Aczel-Golab-Schinzel方程……

（1）给我们上代数课的是印度IMO国家队教练，他的课上得还不错，唯一的问题就是……他的英语有着浓重的印度口音，让我有时实在难以理解。例如，我想要告诉他有一道题他的解法错了，能够5分钟讲清楚的事情，我们两个人有时要讨论20分钟，一句话要讲几遍才能讲明白……

（2）代数课上的大部分同学都是华裔，有一位俄罗斯的学生也会说一点中文，在大家的激励下老师也学了一点中文。然而最后这位印度教练只学会了三句中文：“你好！”，“你很好！” 和 “你不好！”

结合以上的所有情况，我们已经证明了：美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识。□Remark. 于是我们会自然想到一个问题：这些高等知识实用吗？例如，在中国的学术活动课程中“组合几何”很少会作为一个独立的分支，更不会介绍一些看似生僻刁钻的定理。因为说实话，这类定理对数学学术活动中的解题并不会起到多少实质性的帮助。当然，从非功利性的角度来看，学习新知识总是多多益善，因此我们得到推论：

Corollary 1. 美国顶尖学生的数学水平在一些情况下不及中国的同龄学生，但有些学生在数学上眼界更宽阔。

我在美国的时候，听到某些和我一样大的同学能关于选择公理、群论这些我从未接触过的知识侃侃而谈——这是令我非常惊讶的。但另一方面，他们的基本功就没那么扎实，对学术活动中常出现的一些简单模型了解不多。

Theorem 2. 美国数学学术活动培训系统较为分散，除了暑寒假以外线下课程很少。

Proof. 为了证明这个命题，我们利用三个引理：Lemma 1. 美国最流行的课程都是线上课程。

Proof of Lemma. AoPS是全世界最有名、最有影响力的数学论坛，而美国的整个数学培训系统几乎都基于AoPS。在某种程度上AoPS就是美国的XES；但作为一个网站，AoPS显然很少组织线下课程。另一个日益壮大的机构——AwesomeMaths——在学年里的所有课程也都是网课。□

Fun fact. 这次去美国，我结识了一位很好的朋友。我们6年级时就在AoPS上相识，互相分享题目，而这次竟然在AwesomeMath的同一个班里相遇了，简直不可思议；这也说明了AoPS在美国的影响力非常强大。AoPS是一个真正将全世界连接起来的平台。Facebook与Instagram这些社交媒体在中国都无法直接使用，微信在美国也并不流行。而AoPS却第一次让我找到了与美国朋友长久地、便捷地保持联系的方式。

Lemma 2. 美国学校（尤其是初中）很少组织数学学术活动课程。Proof of Lemma. 美国同学们向我抱怨过这个情况，在中国我们经常以学校为单位开展数学学术活动课程，但美国往往不得不以州为单位。美国绝对没有以数学闻名的初中；我本来以为几所著名的高校（例如Andover与Philips Exeter）应该是有学术活动课程的，而同学们也表示他们并不清楚。□

Lemma 3. 美国部分数学学术活动书非常流行。Proof of Lemma. 谈到美国的数学学术活动学习，就不得不讲几本非常著名的参考书籍。在中国，我们有《数学奥林匹克小丛书》、《数学学术活动研究教程》、《命题人讲座》等多套书籍，但他们大多是被作为习题集使用的。而在美国却有一本书不可不读——EGMO（Euclidean Geometry in Mathematical Olympiad）。这是Evan Chen写的一本几何书，包含了基本的倒角倒边，几何定理，计算方法（解析、复数、Barycentric），以及射影几何基础。

学学术活动的人基本全部都完完整整地读过这本书，仔细地看过它的例题分析与知识点讲解。当我提到自己从未听说过Barycentric coordinate是什么计算方法时，美国同学显得极其震惊。

与中国学术活动教程不同的是，它并不是一本用来刷的书，而是一本用来学、用来看的书。很多人评价说，看完这本书的效果和上完几期几何课没有什么区别。在线下课程资源较少的美国，书反而是最好的老师。

Theorem 3. 美国数学学术活动授课以定理为主，而不是以例题为主。

Proof. 正如这篇文章一般，美国的大多数课程注重于对定理的介绍、证明，习题是帮助你熟练掌握定理的辅助工具；而中国的许多课程注重的是对例题的分析、讲解，定理是帮助你迅速解决习题的辅助工具。美国的讲义形式一般是：【定理1】

【推论1.1】

【推论1.2】

【推论1.3】

【例题1.4】

【定理2】

【推论2.1】

【例题2.2】

【定理3】

【定理4】

【推论4.1】

【习题】

而中国的讲义形式一般是：

【例题1】

【例题2】

【例题3】

【例题4】

【例题5】

【例题6】

【习题】

这也决定了两个国家数学学术活动系统的知识结构框架不同。在中国的几何课我们学习的大多是一些宽泛、普适的技巧，至少在不那么高级的几何课中涉及的定理与模型较少。而在AwesomeMath的Geo3课程中，光是四边形基础就涵括了如下的定理：No Name Theorem 1. 四边形ABCD对角线互相垂直的三个等价条件。

Pitot's Theorem. 四边形ABCD有内切圆的等价条件。

No Name Theorem 2. 四边形ABCD有外接圆的等价条件。（有关对角线交点到四边的距离）

Brethshneider's Formula. 四边形ABCD边与对角线之间的数量关系。

Casey's Theorem. 四个与同一个圆内切，且互相外切的圆之间公切线的数量关系。

Sawayama's Theorem & Thebault's Theorem. 沢山引理。

Erdos-Mordell Inequality. 三角形内部一点到三边距离的不等关系。

相比之下例题的数量就很少，每个定理至多有2~3道简单的例题帮助理解；这些例题在大多数情况下也是比较有名的推论与运用。

老师会先花不到2个小时介绍这些定理，剩余的1个小时是所谓的“Problem Session”。每节课设置了10~15道习题，后1个小时就由同学们自己完成这些习题。这些习题的难度同样是由浅入深，也有相应的提示，这样就能让同学们掌握定理的运用方式。当然，到了后面有些题目难度系数很高，老师也会偶尔帮助解决一些“疑难杂症”；还有一些老师也忘了怎么解决的题目……

上面好像扯得有点远；无论如何，我们的定理得到了证明。

Remark. 这样的教学方式当然有好处也有坏处。好处是学生有更多的思考时间，课堂的时间可以更有效地用来讲有价值的定理。但坏处也不少：有些学生无法静下来独立思考，Problem session有时纪律较差，非常混乱。有时我只能通过GoT中小指头的名言来安慰自己：Chaos is a ladder...

另外，老师只会讲解一两道最难的题目，而有时习题中大部分题目难度都不小。习题数量又多，难度又高，这就导致了老师讲不完，学生做不完，整个课程结束了之后还留下一些悬而未决的题目。

Conclusion

综上，我们从三方面刻画了美国与中国的数学学术活动教育体系的不同：美国较高级别的学术活动课程往往会涉及一些高等知识；美国数学学术活动培训系统较为分散，除了暑寒假以外线下课程很少；美国数学学术活动授课以定理为主，而不是以例题为主。美国与中国都是世界上顶尖的数学学术活动强国，而两者的教育系统却天差地别。这证明了培养出优秀的数学学术活动选手有许多不同的方法，并非只有唯一解。

无论如何，在AwesomeMaths的三周很充实，也很快乐。