美国的奥数题如何求阶乘的最后两位非零数字

题目（4星难度）：90！末尾一定有许多0，在这一长串0出现之前，最后两位数字是什么？

辅导方法：将题目写给小朋友，让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：这道题属于数论问题，计算比较繁琐容易出错，解题方法有很多种，

有的方法是对100求余数，有的方法是对25求余数。

过程都需要用到以下两个知识点：设m,n,p,q,a,b都是正整数,p除以n的余数是a,q除以n的余数是b,

(1)若m=p+q,

则m与a+b除以n的余数相同；

(2)若m=p*q,

则m与a*b除以n的余数相同。

下面我们介绍对25求余数的方法，这种方法利用了连续4个数相乘的性质，

总的解题思路是：第一步对5的整数倍分解因数；第二步考虑最后两位数是不是4的整数倍；第三步计算当a是5的整数倍时，

a后面连续4个数的乘积除以25的余数；最后把1到90的数分为两类，分别计算去掉末尾0后除以25的余数。

步骤1：

先思考第一个问题，

对5的整数倍分解因数。

这个问题比较简单，直接计算即可：

5*10*15*…*85*90

=(5^18)*(1*2*…*18)

=(5^18)*(2^9)*(1*3*5…*17)*(1*2*3*…*9)

=(5^21)*(2^16)*(3^4)*(7*9*7*9*11*13*17)。

步骤2：

再思考第二个问题，

90！去掉末尾连续的0后，

最后两位非0的数字是不是4的整数倍？

末尾的0都是由5的整数倍产生的，

由于把1到90分解因数后，

2出现的次数远大于5出现次数，

故末尾连续0的个数等于5出现次数，

也就是步骤1中得到的21。

故90！/(10^21)末尾最后2位数，

就是题目中要求解的数字。

因为2出现的次数远大于5出现次数，

故90！/(10^21)是4的整数倍，

其最后2位数也一定是4的整数倍。

步骤3：

再思考第三个问题，

当a是5的整数倍时，

计算a后连续4个数的乘积除以25的余数。

不妨设a=5k,

则(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)

=[(5k+1)(5k+4)][5k+2](5k+3)]

=(25k^2+25k+4) (25k^2+25k+6),

应用余数的第二个知识点可得，

连续4个数除以25的余数为24=4*6。

步骤4：

综合上述几个问题，

考虑原题目的答案。

将1到90的数分为两类，

第一类是5的整数倍与32；

第二类是其余数字去掉32。

由于32=2^5,

根据步骤1的结论可得，

第一类数字乘积的末尾恰有21个0，

则90！/(10^21)可以分为两部分计算，

第一部分是(3^4)*(7*9*7*9*11*13*17),

第二部分是第二类数的乘积。

下面计算90！/(10^21)除以25的余数：

第一部分逐个计算，

可得其除以25的余数是9；

第二部分可以看作18个组，

其中第17组缺少32，

其余各组都是连续4个自然数，

{1,2,3,4}{6,7,8,9},…,{86,87,88,89},

结合步骤3的结论可得，

第二部分除以25的余数等于

(24^17)*31*33*34,

由于24^2=576除以25的余数是1，

故(24^17)*31*33*34除以25的余数，

就等于24*31*33*34除以25的余数，

直接计算可得该余数是18。

由于9*18除以25的余数是12，

故90！/(10^21)除以25的余数也是12。

因此90！/(10^21)的末尾两位可能是：

12，37，62或87。

结合步骤2中4的倍数的结论，

则90！/(10^21)的末尾两位是12，

由于90！末尾有连续21个0，

所以原题的答案是12。

注：1.在所有求余数的过程中，乘积都不用直接计算，只需计算余数的乘积；

2.原题也可以直接对100求余数，用到(10n+k)(10n+10-k)的末两位数字就是k(10-k),感兴趣的朋友组合计算。