美国的数学竞赛题分析

今天的题目是计数问题，来自美国的一次数学学术活动，解题所用知识不超过小学5年级。

题目（4星难度）：有一个6位数能被3整除，且组成该数的数字中有6。满足条件的数有多少个？

辅导方法：将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟仍然没有思路，再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：这道题属于计数问题，如果直接考虑6的位置，计算量很大不易得到正确答案。这里我们采用反向思考的方式，考虑数字中不含有6的情况。

总的解题思路是：如果6位数的各位数字都不是6，先考虑当前5位数确定时，个位数有多少种选择；再利用乘法原理计算答案。

步骤1：先思考第一个问题，当这个6位数的各位数字都不是6，且这个6位数能被3整除时，若前5位数字确定后，个位数字有多少种不同的选择？要让6位数被3整除，也就是要各位数字和能被3整除。

对前5位数字和进行讨论，可以分为3种不同的情况：

第一种，若前5位数字和是3的整数倍，则个位数也应是3的整数倍，此时个位数只有3种选择，即0,3,9；

第二种，若前5位数字和除以3余数为1，则个位数除以3余数应该为2，此时个位数只有3种选择，即2,5,8；

第三种，若前5位数字和除以3余数为2，则个位数除以3余数应该为1，此时个位数只有3种选择，即1,4,7。

因此不论前5位数字是什么，个位数都是只有3种选择。

步骤2：再思考第二个问题，当这个6位数的各位数字都不是6，且这个6位数能被3整除，满足条件的6位数有多少个？

分步骤从左到右排数字即可，第1位数字可以是1到9去掉6，故第1位数字有8种不同的选择；

第2到5位数字可以是0到9去掉6，故第2到5位数都字有9种不同的选择；

根据步骤1的结论，第6位数即个位数有3种不同的选择。

应用排列组合的乘法原理，因此满足条件的6位数的个数是8*9*9*9*9*3=157464。

步骤3：综合上述两个问题，考虑原题目的答案。6位数共有900000个，其中能被3整除的只占1/3，故能被3整除的6位数有300000个。

步骤2中得到了各位数都不是6的个数，二者相减就是所求的答案。所以原题的答案是300000-157464=142536个。

思考题（3星难度）：能被3整除6位数中，若各位数字都不是6的个数是m，各位数字都不是0的个数是n。问m和n哪个大？

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