与洲际弹道导弹有关的简单数学

所谓“洲际弹道导弹”（intercontinental ballistic missile，ICBM），通常是指射程大于8000 km的远程弹道式导弹。它是一个国家战略核力量的重要组成部分，主要用于攻击敌国领土上的重要军事、政治和经济目标。在上世纪60-70年代的冷战高峰时期，美国和苏联在本国的不同地点部署了数千枚搭载核弹头的洲际弹道导弹，目标是对方的主要城市和导弹发射井。这是一场非常危险的“零和博弈游戏”，后来有人用一个非常形象的词——“确保相互摧毁”来形容这种状态，而“确保相互摧毁”的英文首字母缩写为MAD，恰好与英文单词“疯狂的”相同。

这种僵局一直持续到上世纪80年代后期，特别是在美国新提出要搞“星球大战”计划之后。今天，洲际弹道导弹技术出现了向全球扩散的趋势，很多国家都纷纷研制成功或准备研制自己的洲际导弹或远程导弹，如朝鲜、伊朗等。要知道，洲际弹道导弹这种国之重器的研制、测试和部署费用绝对称得上是一个天文数字，以美国为例，其1枚洲际弹道导弹的全寿命使用周期费用大概为10亿美元，而2016年世界上最贫穷的国家津巴布韦总人口为1615万，人均GDP为0.1美元，即其国民生产总值为0.016亿美元，所以换算下来，美国1枚洲际弹道导弹的费用相当于津巴布韦625年的国民生产总值！除了价格不菲，洲际弹道导弹的技术也极为复杂，几乎涉及现代工业领域的各个方面。

在此，我们挂一漏万，只对洲际导弹从发射点运动到最终命中点的运动学和动力学特征进行一番极其简单的探讨，用“简单”的数学来计算一下诸如导弹飞抵离地球表面最高点时的高度H、耗费时间τ、在地球表面上的投影距离（即射程）L及其影响因素，以此对洲际导弹这种迄今为止人类历史上最具威慑力的武器来一个数理方面的“管中窥豹”。我们以下面这幅示意图为讨论的起点，该图显示的是典型的洲际弹道导弹的飞行轨迹：

上图：洲际导弹飞行弹道的简要示意图。从上图中我们知道，洲际弹道导弹走的是一条从发射点开始，一直延续到命中点的椭圆曲线弹道，这条运动轨迹基本上位于由发射点、命中点和地球球心确定的平面内。忽略所有的空气阻力，我们通过能量守恒定律和角动量守恒定律可以得到下面两个等式 ：

式中，vr和vθ分别是洲际导弹径向和切向的速度分量，m是导弹的质量，M和R是地球的质量和半径，V0和β是导弹发射时的速度和发射时与水平线所成的角度，G是万有引力常数。通过联立这两个方程，并设GM=gR2，其中g是地球表面的标准重力加速度，我们可以得到下面的等式：

要想求出导弹到达地球表面上方最高点的高度H，我们只需令vr为零，这样便得到了下面的二次方程：

式中，Y=r/R，α=2gR/V02。一般情况下，Y和α的值都大于1。当β=π/2时，对应的是一种特殊情况，即导弹垂直发射。当α=1时，可以求出此时的速度V0=√(2gR)。对于地球来说，这个数值等于11.2 km/s，也就是第二宇宙速度。在这种情况下，Y的值为无穷大。对于(cosβ)的值，当其不等于零时，上面的二次方程有一个正解：

我们可以计算一下以π/3、π/4和π/6的角度发射洲际弹道导弹的结果，然后以α为横轴，H/R为纵轴，绘制出二者的关系图，如下图所示：

上图：洲际导弹不同的发射角度对射高的影响。从图中我们可以看出，发射速度越大，导弹上升的高度就越高。当α=1时，上升的高度将变为无穷大；而当V0趋向于零时，导弹上升的高度为零。如果我们设cos(β)=0，并假设H/R<<1，使α>> 1，便可得到H=V02/2g这一经典结果。我们可以使用前面计算的径向速度分量来求解导弹飞抵最大高度时所需的时间，并将该结果乘以2（因为上升段和下降段是对称的），以得到命中目标的时间τ，计算公式如下：

现在，让我们来实际计算一下这个积分：我们不妨选择实际值cos(β)=√3/2，α=4，H/R=√7/6-1/3=0.1076。导弹发射速度和角度分别为V0=5.593 km/s和β=π/6。取地球半径R=6378 km，计算得到τ=991 s=16.5 min，再考虑到空气阻力造成的速度下降，因此总时间差不多在20 min左右，这个数字与实际情况是相符的：根据美国方面披露的资料，其如果遭到俄罗斯的洲际核导弹打击的话，预警时间基本就在20 min左右。还有一个问题就是，在这种情况下，发射点和命中点之间的地球表面投影距离，即导弹的射程L是多少。我们通过角动量守恒定律可知vθ=RV0cos(β)/r，而由于H/R<<1，因此r可以很好地用R来近似。这样，我们就求出了地球表面上的投影距离L约为：

在上面的例子中，求出的数字比莫斯科和纽约之间的距离（7525 km）要短不少。要想增加地球表面的投影距离L，也就是提高导弹的射程，只需要简单地增加V0和β即可。通过使β=√(gR)=7.9 km/s，并且让β趋近于零，可以将导弹打出一条近似的绕地圆形轨道。说到这里，可能很多读者已经明白了：7.9 km/s正好是第一宇宙速度，发射低轨道卫星就是以这一速度入轨的。最后要强调的一点是，地球是时刻在旋转的，因此洲际弹道导弹实际上是在“追逐”一个不断移动的目标。不过，解决这一问题是件很容易的事，只需要对命中点的经度进行修正就可以了，准确一点说是按照(τ/1440 min)2πRcos(目标纬度值)的标准进行修正，其可以直接写入导弹弹载计算机的飞行控制程序代码中。

根据美国方面披露的相关资料，冷战期间，如果对苏联首都莫斯科（北纬55.75°，东经37.62°）发起攻击，在不修正经度的情况下，导弹在经过τ=20 min的飞行后，将落在莫斯科以东约313 km处。另外，地球的自转也可以解释这样一个事实：在极地轨道上运行的间谍侦察卫星可以观测到其轨迹下方地球表面的每个点，而不需要进行任何轨道修正。

在洲际弹道导弹的实际发射中，几乎总是以垂直于地面的姿态进行发射的，在起飞后几分钟内便迅速达到预期的速度V0和发射角β。导弹在大部分运动时间内都是凭借惯性自由飞行的，这就使预测导弹的运动轨迹并予以拦截成为了可能。在1991年爆发的海湾战争中，伊拉克曾使用飞行速度相对较慢（5倍声速，约相当于1700 m/s）的“飞毛腿”弹道导弹攻击以色列，其相当一部分被美国雷锡恩公司研制的“爱国者”防空导弹武器系统拦截。这已经是个不小的进步了，要知道，在弹道导弹诞生后，很长一段时间内人们对其基本上是束手无策。

例如，二战期间，即导弹投入实战后不久，英国人虽成功地使用高速战斗机和摧毁发射场的方式对德国人的V1巡航导弹进行了有效的防御，但却完全无法对抗以数倍声速飞行的V2弹道导弹。即使在今天，要想拦截以20倍甚至30倍声速飞行的洲际弹道导弹也不是一件容易的事。

最后，看了这么多“枯燥无味”的数学和力学公式之后，我们来轻松一下。关于洲际弹道导弹，有这样一则有趣的“轶事”：二战期间，美国总统罗斯福的科学顾问范内瓦·布什（Vannevar Bush）在1945年曾说过这样一句“名言”：“真正堪用的洲际弹道导弹永远不可能成为现实。”其实这种名人因为一时的“短视”而发表荒谬言论的例子比比皆是，如发现了原子核的卢瑟福勋爵在1933年就曾发布过这样一则糟糕的声明：“任何声称原子核能成为一种能量来源的人都是在胡说八道。”