数学竞赛规划指南

当下高校更偏重和信任自身的判断，组织各类学术活动营进行层层考核，提前识别、筛选出优秀学术活动生进行优惠签约。

对希望冲击清北的学生而言，仅仅省一等奖已经非常难获得优惠，至少需要达到省队水平。

本文提供给有志于深入学习学术活动的同学们。

如今，经过专业体系化培养的学术活动选手和随便学学学术活动拓展学习的同学，实力差距越来越大。

搞学术活动不能再抱有侥幸心态，学术活动的规划和培养需要及早地确定和进行、一步一个脚印合理地规划，并且在合适的时间点判断自己是否能够出成绩，避免大量时间、精力投入后的陪跑。

可以说，目前大多数同学和家长的问题在于缺乏规划。不清楚每一阶段应该做什么，该深入的没深入，该放弃的没放弃，导致陪跑或者遗憾。

本文给出了一个基本的数学学术活动体系构建流程，包括重要的时间结点，分阶段的推荐教材，适合学术活动与否的判断准则。参考这样的规划，才能够减低风险，合理选择。

数学学术活动规划指南，你需要刷哪些书

『学术活动培养的三段论』：

第一阶段：学术活动基本知识普及

第二阶段，学术活动体系构建

第三阶段：追随命题人的专题讲座

Ⅰ.第一阶段

第一阶段是学术活动的入门阶段，需要把后续学术活动中涉及到的数学知识全面覆盖，这一目标非常清晰明确。

如果学生的数学起步早（初三或再之前），我们自然建议第一阶段直接解决高考数学的问题。将高考数学的内容学透彻，达到高考要求，这是最理想的状态。数学学术活动起步比较早的地区，比如北京，及早解决高考数学内容非常普遍，可参考以往成员分享：

《学术活动之路，合理规划，明确定位，思进思退 | 创知路低调成员分享》

然而，大多数学生的学术活动学 习，还是起始于初三升高一的升学阶段，甚至高一开学之后。一般情况下，学校教练会迅速推进第一阶段的学 习。能尽快开始学术活动体系的构建自然是最好的，但部分知识入门及学术活动体系构建同步进行，也是正常的情况。

尽早分离第一、二阶段是关键，底线要求：第一阶段不得晚于高一上结束。

如果时间紧张，可以做内容上的取舍：

应当重点注意的知识是：集合与函数，三角函数与解三角形，不等式及证明方法，导函数的基本性质和应用，排列组合与常见计数模型，平面几何，初等数论。至于高考课内的数列，立体几何，平面向量，解析几何，导数大题，极坐标和统计知识则可以暂时跳过。

Ⅱ.第二阶段的第一个半年

学术活动体系构建的第一个半年，时间通常是高一上学期及高一寒假，你需要完成的事情是：部分一试内容的学 习；低难度二试内容（代数及平面几何）的学 习。

（1）一试

《奥数教程》高一高二基础篇

一试的学 习 分为两个步骤：体系化地学 习 各个章节的典型结论及方法；高频高仿真地磨练解题速度和应考能力。前者我们需要分章节分模块的体系化教程，后者我们需要优质模拟的套题。

第二阶段的第一个半年，请不要直接做一试模拟题。

对于体系化教程，我们推荐的是华东师范大学出版社出版的《奥数教程》，注意是高一年级和高二年级的基础篇。当然，整个系列的高中部分共分三本，分别在封面注明了高一到高三，三个年级。一试部分只在高一年级和高二年级，而且只有基础篇。

高一年级分册包括的知识点有：集合、函数、数列、三角函数、向量和立体几何，除了集合包含一定的组合知识，其他的内容均为纯粹的一试内容。高二年级分册的基础篇包括：一试难度的不等式，解析几何和复数。

第一个半年，你至少需要完成高一年级分册的多数内容（如函数、数列、三角函数、向量等）。第二个半年则是继续推进这两本书的学 习。

（2）代数

《创知路学术活动数学教程——不等式篇》

《奥数教程》高一高二年级的提高篇

代数由不等式、数列、多项式和函数方程等内容构成。联赛层面上的考察重点是前两个，圈内的学术活动生一般会将联赛代数题称为“不等式”和“其他类”。

不等式部分的核心是几大基本不等式，每个基本不等式的核心又是各自相应的经典用法（如柯西不等式处理分式的技巧等等）。但不等式部分的问题在于，这里存在乱七八糟的各类复杂不等式和“奇技”。

幸运的是，国内（至少联赛）对于不等式的要求维持在基本不等式及其经典用法层面，故不等式的初学，我并不推荐讲解很深入、内容量很庞大的书籍。我推荐的是《创知路学术活动数学教程——不等式篇》。

其他类则更麻烦，因为它太杂，而且和一试内容的分界线并不明显（比如很多章节较难的一试题，再难一点儿也可以达到二试的程度）。一般的处理方法是在初期学 习 一试时，就相应地见识一些较难的问题，故我推荐你们把《奥数教程》高一年级和高二年级的提高篇也做一做。

（3）平面几何

《创知路学术活动数学教程——平面几何篇》

平面几何的特点是图形种类丰富，各式各样的定理结论层出不穷，这是多数人都知道的。但他们不知道的是，在这些复杂图形的背后，几何有两条清晰的能力发展线：以导角相似为代表的顺推逆推等纯几何的思路构建能力，以三角法为代表的代数化思路“度量”图形的计算能力。

图形和各式结论只是我们培养这两种能力的通道，但不是根源。

平面几何的学习，除了关注相似、四点共圆和根轴等基本工具外，在余下的部分（如完全四边形、五心等）中，你不全是为了学会什么定理或结论去学，你必须追根溯源，发展两条能力线。

故我们推荐的是《创知路学术活动数学教程——平面几何篇》。

关于这一部分的学 习 ，最后啰嗦一句：一试、二试两部分要同时进行，不能这个月学一试，下个月学平面几何。一试内容的学 习 ，在以后的过程中，每一周都要保证常规的最低学 习 量，额外的时间搭配较难的二试内容学 习 。

Ⅲ.第二阶段的第二个半年

学术活动体系构建的第二个半年，时间通常是高一下学期及暑假，你需要完成的事情是：继续学 习 一试内容；高难度二试内容（数论及组合）的学 习 。

（1）数论

高中数学教材选修4-6

《奥数教程》高三年级

《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》

数论模块的难度在于知识体系本身，即最初入门的部分。

数论和几何类似，有自己庞大且更体系的知识网络。但数论中的知识又不像几何图形如此直观，它非常抽象，有点看不见摸不着，人们学 习 和研究数论的方法也较为独特，再加上你小初可能没有接触相关内容，这些都导致你欠缺基本的sense，即“数论感觉”。

因为欠缺直观感受，故很多初学者，在读到著名数论定理时，完全不知所云。

如何培养数论感觉呢？答案是，去见识大量直观而鲜明的例子。故我们推荐的第一本数论书是高中数学教材选修4-6，这本课内教材把一些基本概念讲得浅显易懂。

真正的学术活动数论，我推荐的必读书有两本：《奥数教程》高三年级里面的数论部分（第6-10讲以及第19、20讲），还有《数学奥林匹克小丛书高中卷10数论》，两本书均由余红兵老师编写。

《奥数教程》这一本，题目简单基础，非常适合学术活动数论的入门。它的闪亮之处，在于余老师写下的分析注释。这些文字一步步引导你深掘问题，这在学术活动书籍里是绝无仅有的，值得你一个一个字地细看深思。

至于小丛书这一本，它已经具有一定的难度了，属于进阶的数论书。其中的很多题目非常典型和深刻，适合在入门后阅读。

（2）组合

《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》

组合也是高难度的数学学术活动内容，但它的难点与数论正相反：组合中除了图论，基本知识及原理都异常简单（很多原理连小学生都懂），可真正的难点在于，如何在具体题目中运用这些原理。

以算两次原理为例，它说的是：对于一个对象，我们从两种不同的角度数它的数目，结果是一样的。这简直是废话。但在实际问题中，为什么需要从两个角度数数，以及如何选取数数的角度，里面的学问比原理本身要复杂得多。

市面上优秀的组合习题集很多，但令人遗憾的是，没有适合初学者的组合书籍。最简单的组合书籍难度也不小，仍不易读（或许你可以期待一下我们的组合书籍）。

这一部分我目前推荐的书是《数学奥林匹克小丛书高中卷11组合数学》，由张垚老师编著。即便是入门书籍，它也已经具有了相当的难度，能真正看好这本书，组合基础题肯定是不在话下的。

Ⅳ.第二阶段的冲刺期

第二阶段的冲刺期，从第一次联赛前暑假的中后期，到联赛前。

此阶段之前的学 习，属于学术活动内容全面铺开、构建知识网络的部分，也是你储备知识、提高水平的发酵期。而现在的冲刺期则是验收成果的时期，直面的是数学联赛。

学生在这一阶段会经历一个大爆发的过程，这一步究竟飞得有多高，直接取决于之前体系化初学内容的扎实程度。这一时期，我不再推荐学 习 有新知识的二试书，你可以把前两个阶段没有刷完的书继续跟进。

一试则是这一时期的重中之重，此阶段我们推荐优质模拟题。

《中等数学》增刊一（全国高中数学联赛模拟题集）

《国内外数学奥林匹克试题精选》

我们在前文已经说过，一试学 习 的第二步是“高频高仿真地磨练解题速度和应考能力”，这也是此阶段一试练 习 的重点。我们推荐的优质模拟题是《中等数学》增刊一（全国高中数学联赛模拟题集）。

用好一试模拟题需要注意以下要点：

第一，一定把它当成模拟考试，而不是刷题。每套题准备答卷，写好过程，限时完成。

第二，分批次连续测试。每天一次一试模拟，一批次持续十天（不要中断）。每次模拟记录分数，分批次观察整体情况。

第三，适当记录错题。每次测试结束后，针对失分的问题，记录错题。会做但做错的问题要重做直到做对，不会的问题抄下解法整理记录。

不过，这本模拟题的一个问题是试题质量参差不齐。大多数试题的质量还是好的，但少数确实很过分，距离联赛偏差较大。请你自己判断，整体把握，不好的模拟题不用上心。

如果二试你已经完成了体系化学 习，且需要额外的 习 题集，我们推荐《国内外数学奥林匹克试题精选》（以下简称《试题精选》）。注意题量很大，选择一部分刷就行。

Ⅴ.第三阶段

第一年的联赛是一次检验性质的考核，不适合深入学 习 的学生请及时退出。如果你的学术活动目标是保省一，冲省队、国赛甚至更远，这一次联赛必须考到省二前段，省一更好。

一旦决定深入学 习，你必须投入大量时间精力，下面的推荐强度较大，也符合你现在的定位。请注意，我们前文推荐的那些书，真正看好，就已经能够达到弱省省队和强省省一等奖的层次。

这一年你需要做的事情是：补一些代数杂项的学 习；强化组合数论的能力（核心）；大量练 习 国内外赛题。

（1）代数杂项

《奥数教程》高三年级

《数学奥林匹克命题人讲座：函数迭代与函数方程》

《数学奥林匹克小丛书高中卷5-不等式的解题方法和技巧》

我们在前文中就已说过，代数中有很多杂项，而且都不是联赛的考点，所以这一部分的学  习，目的在于国赛而非联赛。

多项式部分推荐《奥数教程》高三年级与多项式相关的章节。

函数方程部分推荐《数学奥林匹克命题人讲座：函数迭代与函数方程》（内容较多，选看）。

关于不等式，如果你想练得更多，建议选择《数学奥林匹克小丛书高中卷5-不等式的解题方法和技巧》，由苏勇和熊斌两位老师合著。

（2）数论强化

《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》

数论方面，只需做好一本书，不用再看其他的书，就可以达到冬令营的难度要求，甚至走得更远。这本书就是《数学奥林匹克命题人讲座——初等数论》，由冯志刚编写，上海科技教育出版社出版。

这本书知识讲解几乎可以忽略，远没有余老师的书出色，但是这本书涵盖了大量的 习 题，简直就是数论这一块的黄金题库，题目的质量实在是太高（大多数都是很难的，尤其是第一章难度最高），一道道刷过来，数论的能力会有质的飞越。

（3）组合强化

《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》

《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》

《高中数学学术活动专题讲座——组合构造》

组合方面，我推荐三本书。

推荐首先阅读的第一本：《奥赛经典——奥林匹克数学中的组合问题》，这是组合这一块综合性的大百科全书，除了第一二章可以略看，后五章要认真刷完，题量大，题目质量很高，对于组合能力的提升有很大的帮助。

剩下的两本书，你可以根据需要选择其中一本刷。

两本书是《数学奥林匹克小丛书高中卷13组合极值》以及《高中数学学术活动专题讲座——组合构造》，都是由冯越峰老师编著。上面收集的问题同样很精彩，尤其是后者，难度很大，有能力可以两本都刷，组合多练一些绝对错不了。

（4）国内外赛题

《走向IMO》系列

《中等数学》增刊二（国内外数学学术活动试题及精解）

第二年做大量国内外赛题是必须的，而且难度要拔高到冬令营及以上（包括美国数学奥林匹克学术活动，国家集训队测试、国家队选拔、罗马尼亚大师杯和IMO）。我们推荐的书有两套：

《走向IMO》系列。这个系列的书按年份分册，包括过去一年的联赛、东南、西部、女奥、CMO、集训队测试、国家队选拔、俄罗斯数学奥林匹克、美国数学奥林匹克、罗马尼亚大师杯以及IMO。国内赛题贴近国内的命题风格，请你重视。

《中等数学》增刊二（国内外数学学术活动试题及精解）。这本书的国外赛题收录得更丰富。

如果说高二的联赛是够着去考的话，高三这一年需要以俯视的姿态回归。有意的拔高难度，才能在后续的联赛考试中游刃有余。

Ⅵ.第三阶段特别注意

未来，在严格不允许初中生参加联赛的情况下，预计此时，你是第二次参加联赛。这一次的备考，大体和第一次相同。但这一部分，你需要额外做好一件事：

把之前刷过的所有书都要过一遍，作为复 习。这个 习 惯很重要，但很多人都没有这个 习 惯。

第一遍看书时难免走得坑坑洼洼，有些题压根没看，有些题当时没看懂，现在是时候回过头来料理它们的时候了。你现在可以从一个更高的观点，去审视原来的问题，想想这道题是怎么来的？它的背后蕴藏了什么东西？这类技巧还经常在哪些题中出现？当时我为什么没有做出来？

一切有意义、有价值的问题，你都可以去思考，然后把你的感悟记下来，这就是总结，它可以帮助你完善知识网络，加深印象，更重要的是它能够帮助你积累解题经验。另外一个好处就是，当你发现当年把你虐得死去活来的问题不过就那么回事的时候，心情真是倍儿爽。

Ⅶ.第三阶段：从联赛到CMO

如果你入选省队，有资格参加国赛，那么数学学术活动之路还能继续往前走。联赛结束到国赛开始，还有一段时间，在这个阶段，你需要刷的是三本书。

《数学学术活动研究教程》上下册

《奥数教程学 习 手册》高三年级

其中两本是《数学学术活动研究教程》的上下册，还有一本就是《奥数教程学 习 手册》高三年级，在解答部分结束之后有两个专题：组合问题和数论问题，题目和注解非常棒。

如果你在国赛当中取得了不错的成绩，升学问题就不用担心了，我分享的经验也就到此结束。

最后我想总结几点，作为提醒送给你：

学术活动书在精不在多。这是我一路走来的一大感悟，我用我亲身经历和我看见的实例告诉你，很多时候一本书就足够练好一大块内容，一本书刷好了就可以有惊艳的表现。水平上不来，不是因为你书刷得不够，而是你刷得不好。

学术活动书不能光看，一定要自己动笔练 习。很多人 习 惯非常不好，只看不做，很多问题的解答非常精彩，你直接去阅读和你先动笔试试再去看，收获的东西是不在一个数量级上的。

看书的时候要养成动笔记录想法、观点的 习 惯。我见过身边很多人看完的书干净得像没看过一样，做出来了的打个勾，没做出来的画个圈，仅此而已。这是很糟糕的 习  惯。刷题时一定要记录一切有价值，有意义的东西，可以是不同于解答的新解法，可以是你的思考和感悟，也可以是你的困惑，总之一切你认为的闪光点，都值得记录。

切忌走马观花，但也不能在一个角落过分纠结。这是两种极端，有些人看书飘得很高，这样的人其实什么都学不到，最后注定死得很惨。但也有些人看书过分追求完美，总觉得我要无死角扫平这本书，但这是不可能的，有些难题和偏题，适当跳过也是必须的。

要有书看多遍的习惯。一本书看第二遍的时候，整个感觉都会不一样，就像处在另外一个境界，很多问题一下就豁然开朗，这样的体验非常奇妙，而且能够给你带来实质性的帮助——经验式解题的形成，对于稳定联赛成绩，避免极端情况的发生，它具有关键性的作用。