代数几何在物理学中的应用

代数几何（Algebraic geometry）是现代数学的一个重要分支学科，基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。代数几何把抽象代数， 特别是交换代数，与几何结合起来，被认为是对代数方程系统的解集的研究。

代数几何是数学的一个分支，是将抽象代数， 特别是交换代数，同几何结合起来。它可以被认为是对代数方程系统的解集的研究。代数几何以代数簇为研究对象。代数簇是由空间坐标的一个或多个代数方程所确定的点的轨迹。

例如，三维空间中的代数簇就是代数曲线与代数曲面。
代数几何研究一般代数曲线与代数曲面的几何性质。代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系，如复分析、数论、解析几何、微分几何、交换代数、代数群、拓扑学等。

代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中已广泛应用代数几何工具，这预示着抽象的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

从非常表面的角度看，物理中使用代数几何的场合主要是“必须直面奇点”的时候，也就是说当奇点具有重要物理意义的时候。面对有奇点的问题，最自然的想法就是考虑如何把奇点变光滑（resolution），这时候代数几何就变得很有用。

比如，Calabi-Yau GLSM 的物理参数，比如 FI 参数，会控制相应的 CY 3-fold 的几何，但是当这些参数变动到某个值时，这个 3-fold 可能会建立奇点，而后当参数离开这个值，奇点消失，但是相应的 CY 几何和拓扑发生了变化。Mirror symmetry 会关心这个“奇点诞生-消灭”的过程在 Mirror CY 上是怎么样的过程。类似的还有开弦/闭弦对偶问题。

Calabi-Yau 会在底流形 缩到零体积的时候建立 conifold 奇点，而这个奇点有两个resolution，专家称它们为 deformed conifold 和 resolved conifold：前者可以在 上堆 个 D-brane 并导致 CS 理论，而后者可以建立闭拓扑弦理论。开闭弦对偶指出，这两个（作为同一奇点的不同光滑化的）几何上的两个物理理论是等价的。还有一些需要面对奇点的问题，比如孤立子、瞬子模空间的奇点，Seiberg-Witten curve 在某些 moduli 值处会产生奇点。处理这些问题时，代数几何会有重要作用。

代数几何在现代物理用用得越来越多了。代数几何中最广泛的应用是在弦理论中，紧致化和mirror symmetry都和代数几何有密切关系。此外，代数几何在规范场论的散射振幅计算中也有应用。
弦论里有大量代数几何的应用。这是一个过于庞大的话题，下面仅零碎地举几个例子。细节会越来越少，跟实际应用多寡完全不成比例。

经典教科书1有专门章节提供用到的代数几何知识，但是不代表只有这些被应用了，前沿的弦论研究和大量的代数几何研究交织在一起，见文末讨论。粗略地追究一下，起点可能是弦论在卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形上的紧化（compactification）。

也就是科普语言里说的在我们的四维时空的每一点都蜷着一个六维的卡拉比-丘空间（“弦论居住的房子”）。丘成桐对陈（陈省身）示性类为零的卡拉比猜想的解决使得我们对这类流形有了一个简单的代数几何刻化。这样相关的代数几何工具就进入物理学家的视野了。

先讲代数几何在弦理论里面一点比较具体的应用（含现实的物理意义）：
在杂化弦论（heterotic string）中，规范场作为Hermitian-Yang-Mills方程的解的存在性对应于一些全纯向量丛的稳定性（slope stability），这（在适当的条件下）被称做Donaldson-Uhlenbeck-Yau定理，或者Kobayashi-Hitchin correspondence。到这一步涉及的对象还是复几何的，然而稳定性的条件可以在代数几何的范畴里研究。

同时，计算这些向量丛的上同调对应于数场（massless chiral superfields）的数目。而这些计算也可以通过范畴等价（GAGA，代数几何与解析范畴的对应）转化为代数几何问题进行计算。沿着这一思路，参考文献2试图从弦理论回到场论标准模型：从杂化弦出发，能够找到这样的弦论模型【1】，使得它在低能状态下能够重现超对称标准模型（minimal supersymmetric standard model, MSSM）里的场，不多也不少。

当然场的耦合强度还需要更细致的计算。这部分工作算是弦唯象理论（string phenomenology）。然后接着卡拉比-丘流形说，在两个不同的卡拉比-丘流形上的弦理论可以通过镜对称（mirror symmetry）建立对偶，与此相关的Calabi-Yau / Landau-Ginzburg correspondence, Gauged linear sigma model 等等都用到很多代数几何的工具。

再有比如super-Riemann surfaces and supermoduli space，bosonic string 只在26维良定义的代数几何/模空间解释，F理论里模型整个建立在elliptically fibered Calabi-Yau fourfolds上，尤其关注其中的退化的纤维(singular fiber)。从物理角度看，代数几何工具并不比其他工具有什么特殊的，跟微分几何、辛几何以及其他工具交织在一起

。很多比较“高阶”的构造比如derived categories，gerbs and stacks物理学家也都在积极应用。从数学物理角度看，弦论提供了很多有价值的数学问题，代数几何相关的领域有Homological Mirror Symmetry, Enumerative Geomegry, Geomeric Langlands 等等等等。