数学问题解答

Problem 4：你试图在一个 n + 1 > 2人参加的小比赛中作弊，比赛中，裁判每读出一道题，等待所有选手写下答案，电脑给分后，裁判再继续出下一道题。由于你攻破了电脑系统，每次你可以偷看其他 n个选手的答案，再写下你自己的。电脑给分时，答案错误扣两分，答案正确不扣分，但由于你高超的黑客技术，你的答案错误时只会被扣一分。求证：如果任意时刻你的分数领先第二名2"﹣² + 1分，则你有办法最终得第一。

简单分析 首先可以忽略一切你答对的题目，（因为他们只会拉大你和其他人的差距，忽略后你能得第一 则忽略前你也能）另外 总可以假设你很倒霉，错了一切题目，故可以认为你的回答永远错误。

于是你的能力可以认为是：看完回答，抄其中一种答案，跟他们一起错。即选择一组答案为错的能力。（诅咒大法）

再简化分数 可以给每人每道题加一分， 于是你分数永不变，其他人对+1分 错-1分。要求变为让其他人永远不到2的n-2次幂分数

一个简单的策略是每次让尽可能多的人扣分，举栗子发现不行。反思的话是要考虑具体到个人，由于题目可以任意多，所以长期来看 我们要让每个人都几乎不得分，要尽可能做抵消操作。

我们执行以下策略：

1看完答案后，选择答案相同人数较多的一组，判定此答案错。把本次得分的人记在小本本上。

2若本次有一组答案相同的人在小本本上有，则不执行1，改为让此答案错误，同时在小本本上划去这组人。

注意到此次得分之人上次（此组人得分那次）均扣分，上次得分之人此次均扣分，故这两次操作结果相互抵消，可忽略。

由上， 可以看出小本本上的一切小组人数均少于一半，且两两不同。于是任何时刻一个人在小本本上至多出现 2的n-2次幂次证毕。