AMC10+12真题的讨论之如何活用排列组合公式

昨天有一道数学题引发了同学的讨论，题目如下：

A child builds towers using identically shaped cubes of different color. How many different towers with a height 8 cubes can the child build with 2 red cubes, 3 blue cubes, and 4 green cubes? (One cube will be left out.)

他们问我的时候，我发现此题是今年 2019 年的 AMC10 真题，该难度一般会出现在 AMC 10 的 16~20 题的位置或是 AMC 12 的 11~15 题的位置。

题目的意思是有个小孩搭积木，他手头有 2 个红色积木，3 个蓝色积木，4 个绿色积木，要搭一个 8 层的塔，问有几种搭法。

观点一：S 同学第一反应是用 P 9 抽 8 来算。

他注意到了“总共有 9 个积木，但要搭一个 8 层的塔”这件事，想法是从 9 个中有序的抽去 8 个，但是，这里涉及到一个“组内去序”的问题，具体来说是：两个红色积木本来一样，它们之间互相交换的 2！=2 种是一样的，同理三个蓝色积木互相交换 3！=6 种也是一样的。S 同学这么做是当每个积木都不一样的做法，因此是不对的。

观点二：K 同学用分类讨论+组内去序的方法来算。

我理解他的思路：因为总有一个颜色不用，所以分成三类，不用 1 个红的、不用 1 个蓝色、不用 1 个绿的来做。具体每类里面用几个就确定了，先把所有方块当成不一样的，有 8！种排列方法，再除以红色交换顺序、蓝色交换顺序、绿色交换顺序的排法。正确。

观点三：M 同学用组合数抽取的方法来算。

这个方法和上个方法有异曲同工之妙，先分类，然后“让颜色选位置”，这是个很巧妙的思路，比如 1 个红色，3 个蓝色，4 个绿色这一类，让红色在 8 个位置中先选，有 C 8 抽 1 种选法，然后让 3 个蓝色去选，此时还剩 7 个位置，所以有 C 7 抽 3 种选法，以此类推，最终答案正确。

观点四：W 同学没有分类讨论，直接一个算式做出！

9!/(2!3!4!)=1260

这个解法可以说是相当牛逼了，直接大胆的把 8 个积木当 9 个排！为什么能这样做？因为当前 8 个确定了，第九个积木就被唯一确定了！所以 8 个积木的塔有几种搭法，9 个积木的塔就有几种搭法。确实巧妙。