中美并列数学奥赛冠军能说明什么

中美在这一次数学奥林匹克比赛中总分并列第一，分享了冠军。看似中美在奥数比赛上的水平现在是旗鼓相当，但如果回顾一下奥数历史，会发现几个有趣的现象：中国队比美国队晚了十多年才开始参与奥数比赛，但已经获得了20次冠军，美国虽然一直是传统强队，但只获得了8次；然而，美国的8次冠军中，有4次是在过去5年中取得的，而中国在今年之前已经连续4年与冠军无缘。而如果更延伸开来，我们还会发现也有英法这种数学研究实力很强但奥数比赛成绩非常一般的队伍，所以也就有人会有疑问，奥数成绩和一个国家的数学实力究竟有多少关系？正如我们之前所说的，袁老师在本届奥数比赛之前，就与美国奥数队总教练罗博深进行过一次畅谈，

部分评论

诺坎普白总：对于国家奥数的排名争论从宇宙的视角看来，地球上国家之间的竞争都是鸡虫之争，不值一题，人类有没有掌握黎曼猜想孪生质数猜想这样的思想之光才是真正有意义的，决定了人类在宇宙之中的地位。袁老师这句话说的太牛了，知识学术活动就该是这样的初心。

布鲁诺：楼层评论太精彩，忍不住收藏本视频。大家各抒己见，获益匪浅。我小时候生活在乡下，教育是什么，尚且认知模糊，素质教育就更无从谈起了。衷心希望年轻的小朋友们珍惜学习机会，不管什么样的条件，都努力拼搏。

MuXIDusk：大多数人总是喜欢着眼于人类之间的斗争，而科学家却在想整个人类群体的进步。

2019年7月20日，第60届国际数学奥林匹克学术活动（International Mathematical Olympiad，简称IMO）的成绩公布了。出现了最富有戏剧性的结果：中国队和美国队并列第一！

上一次出现并列第一，还是在整整20年前的1999年，当时是中国队和俄罗斯队并列第一。再往前，并列第一就只有一次了，是1986年的美国队和苏联队。

这次的冠军对许多中国人堪称一场及时雨，因为中国队上一次得到第一还是在2014年（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=CHN），已经连续四年没拿到第一了。

在2015年至2018年，中国队拿了两次第二、两次第三。其实也都是很好的成绩，但总是差这么一点，难免有些遗憾。当你再注意到，中国队在以前创造过四连冠甚至五连冠的惊人佳绩，你就更会感到连续四年没得第一是个显著的下降了。再加上教育部对所谓“素质教育”的推崇、对奥数培训的打压，近年来，奥数成了中国舆论场上的一个热门话题。因此，这次重返冠军，令大家格外欣慰。

中国队在国际数学奥林匹克学术活动的排名历史（横轴是学术活动的届数。第一届在1959年，此后除1980年外，每年都举办一届，2019年是第60届。黄色：参赛国的数量；黑色：反转的排名，位置越高表示排名越高）

再来看美国队，它也是IMO的一支传统强队，不过拿第一的次数比中国队少得多（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USA）。美国队从1974年参赛以来，包括这次在内总共得过8次冠军。而中国队参赛比美国队晚了11年，从1985年才开始参赛，却得到了20次冠军！因此可以说，中国队在开始参赛之后，就成了IMO的头号主角。

在中国队参赛之前，成绩最好的是苏联队（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=USS），他们从1959年开始参赛到1991年国家解体，一共拿了13次第一，其中从1963年到1967年更是创造了五连冠的伟业。甚至在1991年，苏联解体的那一年，他们还拿到了最后一次冠军，令人唏嘘不已。

在苏联解体后，俄罗斯队也称得上一支强队（http://www.imo-official.org/country_team_r.aspx?code=RUS），不过只拿到了两次冠军，跟中美相比就有显著的差距了。

有一点值得注意的是，美国队虽然总共只拿过8次冠军，但其中4次就是在最近的5年中拿的。具体而言，从2015年到2019年的5年中，美国队惊人地拿了4次第一，只有2017年是第四。由于这个第四卡在中间，使得美国队的连续夺冠纪录只有两次，连三连冠都还没到。不过无论如何，这五年的美国队就像开挂一样，创造了历史最佳成绩，这是非常了不起的。

更加有趣的是，在这五年的开挂期间，美国队的总教练都是同一个人，就是我的朋友、卡内基梅隆大学数学系的罗博深教授。你猜，我们是因为什么认识的？当然是因为拍科技袁人节目了！

罗博深

我和罗博深的对话是在5月30日做的，视频预计将在7月31日上线，敬请期待。下面，我们先来看看这届学术活动以及IMO整体的一些基本情况。

一个基本的问题是，国家的数学学术活动成绩和数学研究水平之间是什么样的关系呢？

整体而言，两者之间显然存在正相关。例如中国、美国、俄罗斯、德国、韩国、匈牙利在IMO中都拿过冠军，称得上学术活动强国，而这些国家的数学研究水平也都不错。

不过，这个相关程度并不是很强。例如法国和英国都是历史悠久的数学强国，出过许多伟大的数学家，但在学术活动中却一次冠军都没拿过，这次的排名分别是25和20。

再仔细看的话，中国在数学学术活动中成绩超群，但在数学研究中就离顶尖很远了。我的一些数学家朋友告诉我，在数学研究中，现在是美国最强，法国、俄罗斯、德国、英国紧随其后，再往下才是中国、巴西、日本、意大利等等。

你也许会感到很诧异：巴西？其实巴西的数学真的不可小觑，他们的数学学术活动每年有1800万学生参加，号称世界最大，而且2014年有一位巴西数学家阿图尔·阿维拉（Artur Avila）获得了菲尔兹奖。中国本土还从来没有数学家得到菲尔兹奖呢！

阿图尔·阿维拉

在大家熟悉的国际顶尖华人数学家中，陈省身没有得菲尔兹奖，得了沃尔夫奖，国际数学联合会专门设立了“陈省身奖”作为国际数学界最高级的终身成就奖。

陈省身

丘成桐是第一个获得菲尔兹奖的华人，不过他是以美国籍得的。

丘成桐

陶哲轩是第二个获得菲尔兹奖的华人，不过他是出生在澳大利亚的华裔。

陶哲轩

张益唐的成果配得上菲尔兹奖，不过他的年龄超过40岁了，不能得这个奖。

张益唐

所以大家要努力哦，你还有机会成为第一个中国本土获得菲尔兹奖的数学家！

以上的这些讨论，可以让我们认识到，数学学术活动是重要的，但远不是最重要的。它可以作为一个引子，引导大家关心数学、热爱数学，就像庄子说的“得鱼忘筌”。明白了这些，就可以以平常心看待学术活动了。

下面我们来具体看看这届学术活动的情况。

首先来看一下考题，在IMO的网站可以下载到各种语言的版本（http://www.imo-official.org/problems.aspx）。考试分为两天，每天3道题，做4个半小时，总共6道题。每道题7分，满分42分。

在这届的考题中，有些似乎连看懂题意都不容易，例如第2题和第6题这两道几何题。也有些看起来似乎很容易理解，例如代数的第1题和数论的第4题。

但无论哪道，找到思路都是很不容易的。即使是表面最亲民的第1题，也很可能在写写画画一大堆之后无法前进。我就是这样，推了不少，但在看网友写的答案之前，还是找不到办法确定函数的形式。差可告慰的是，在看了答案之后，仔细琢磨一下就理解了。

2019年国际数学奥林匹克学术活动第1题网友解答

有兴趣的观众，可以仔细去推演。在这里我解释一句：关键在于看出，这个函数在任意的n、n + 1和n + 2这相邻三点的取值构成一个等差数列，所以这个等差数列的公差即f(n + 1) - f(n)是一个常数，因此这个函数只能是线性函数。一旦想通这一点，后面的推导就都是顺理成章的了。

你看，这道题在本质上不难嘛。对于高手来说，应该算是送分题。事实上，IMO网站给出了每道题的得分分布图（http://www.imo-official.org/year_statistics.aspx?year=2019）。

在参赛的621位选手中，有超过一半的382人在第1题上得到了满分7分。由此可见，IMO也和平时见到的考试一样，上来先会出一些送分题，稳定一下考生的心情。不过即使对于这样一道送分题，也有73人得了0分。这让我们说什么好呢？如果你太菜了，那么老师再怎么努力地想把分数送给你，也送不成啊！

其他题目的得分分布，跟第1题就大相径庭。最有趣的是第3题和第6题，它们分别是第一天和第二天的压轴题目。第3题有520人吃了鸭蛋，第6题更是有558人一分没得！

第3题和第6题得到满分的人，分别只有28人和27人。显然，夺冠的关键就在这最难的两道题。

罗博深跟我说的非常有趣的一点，就是个人夺金与国家夺冠之间的关系。如果你只想拿块金牌的话，那么你做五道题就够了。咦，什么叫“只”想拿块金牌？

因为奥赛的金牌并不是根据绝对成绩来发的，而是根据相对成绩，只要你排名在前50位左右，就可以拿到金牌。例如这次学术活动总共有52人获得金牌，门槛是在满分42分中得到31分。你看，是不是做五道题就够了？

以前美国队多年不能夺冠，一个原因就是队员们觉得自己反正也赢不了，做对五道就够了，第六道直接放弃。2015年美国队夺冠，就是因为那届队员特别想赢，在做完五道题后还去竭尽全力做最难的。他们赢了以后，后面的几届看到自己真的能赢，斗志也被点燃了，从此也竭尽全力做所有的题。

由此可见，今年的中美并列第一，是双方的能力、技巧、斗志旗鼓相当的结果。让我们为两国的队员喝彩！

下面我们来看一下这届学术活动的结果。

在国家层面（http://www.imo-official.org/year_country_r.aspx?year=2019），中国和美国以227分并列第一。然后是韩国，以一分之差位列第三。

第四是朝鲜，187分。我们祝贺朝鲜追平自己的历史最好成绩（它在2015年也得了第四），不过它的得分跟前三位就有明显的差距了。第五到第十位分别是泰国、俄罗斯、越南、新加坡、塞尔维亚和波兰。

在个人层面（http://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc），这届学术活动一共有6人拿到42分的满分，其中两人来自中国，两人来自美国，另外两人分别来自韩国和波兰。

中国队的6名选手都拿到了金牌，美国队和韩国队也是。这里一个有趣的问题是，美国队的6人中有5人是华裔，他们的总教练和副教练也是华裔。因此，有不少人开玩笑说美国队是中国二队，也有不少人在抱怨所谓人才外流的问题。

我想说的是，这些都不重要，不要让负能量沾染自己。正能量的思维是，美国队以及其他很多参赛队伍中有大量的华人，这说明华人是完全可以搞好数学的。我们应该更加努力，早日把中国建设成顶尖的数学强国。

还有一些有趣之处，出现在榜单的末尾。在参赛的112个国家和地区中，有3个国家的总分是0！这3个并列倒数第一的国家是：安哥拉、肯尼亚和阿联酋。

在这三国当中，尤其特别的是阿联酋，因为它派出了一个完全由女生组成的队伍（2019IMO开幕式视频及最新照片来啦！竟然有个国家队全员女生！），在赛前吸引了很多关注。我看到这则消息时感到很奇怪：这个国家的男生到哪里去了？难道他们的数学都这么差吗？没想到结果是，这6位女生一分未得。

不过如大家所知，有些宗教国家平时严禁女人抛头露面，甚至还有宗教警察四处巡视。因此这次让女生出来参赛，总是一件值得鼓励的事。让我们希望，数学之光和自由之光普照世界。

如果前面讲的学术活动题让你“不明觉厉”，那么下面，我们就来介绍一个简单而精妙的数学定理，而且它还很有实用价值。为什么在这里提到这个定理呢？因为这个定理是我第一次见到罗博深的时候，他正在讲的，讲给上海市延安初级中学的师生们。

这个定理叫做皮克定理（Pick’s theorem），它说的是：在一个平面上标出那些横纵坐标都为整数的点，把这些点叫做格点。以任意多个格点作为顶点，做一个多边形，那么这个多边形的

面积 = 内点数 + 边界点数/2 - 1。

也就是说，数出有多少个格点完全包含在多边形中，每个这样的格点贡献1的面积。再数出有多少个格点在多边形的边界上，每个这样的格点贡献1/2的面积。把两部分贡献加起来，再减去1，就得到了多边形的面积。

举个例子，在下面这个四边形中，内点有7个，边界点有8个，因此它的面积等于7+ 8/2 - 1 = 10。是不是很方便啊？

皮克定理

我跟罗博深交流的时候，说我们在物理和化学中研究晶体结构时，就经常用类似的方法。如何确定一个晶胞中包含多少个原子呢？例如下图所示的，体心立方和面心立方的晶胞。

体心立方和面心立方晶胞

简便的算法是，一个原子如果位于一个晶胞之内，那么就把它完全归于这个晶胞。一个原子如果位于一个面上，即被两个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/2个原子。一个原子如果位于一条棱上，即被四个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/4个原子。一个原子如果位于一个角上，即被八个晶胞分享，那么就给每个晶胞1/8个原子。基本的思想就是“均分”。

根据这种算法，你很快就会发现，虽然看起来眼花缭乱，但体心立方只包含2个原子，面心立方只包含4个原子。这就是跟皮克定理的一个有趣的类比。

因此，你能从直觉看出皮克定理是正确的吗？你能从直觉看出这个定理可以用数学归纳法证明吗？