当数学遇到物理之无处不在的镜像对称

季理真，1964 年 4 月生于温州。1984 年获杭州大学理学学士学位，1985 年赴美在丘成桐教授指导下研习数学。1987 年在加州大学圣地亚哥分校获得理学硕士学位，1991 年在美国东北大学获得理学博士学位。先后在美国麻省理工学院、普林斯顿高等研究所从事研究工作，1995 年至今任教于美国密歇根大学数学系，从 2002 年开始兼任浙江大学数学科学研究中心高级教授。曾获得 Sloan 研究奖，以及美国自然科学基金会数学科学博士后奖。

中国人口众多，名人也不少，著名的华人数学家和物理学家更是遍及海内外。但要让当今最伟大的华人数学家和最伟大的华人物理学家聚首清华园，并不容易。但这却真的发生了，时间是 2014 年 8 月 4 日的晚上，清华园附近的文津大酒店正在举办丘成桐教授 65 岁华诞庆祝暨卡拉比猜想 60 年国际会议的盛大晚宴。这可以看作是丘教授的一次家宴，他个人承担了晚宴的全部费用。

世界著名物理学大师杨振宁教授起身做了开场致辞：

“我有一个小故事，丘成桐不一定喜欢听，他来石溪一年后，斯坦福想将他挖走，石溪要留他，开了个会，除了一个人外，全部都赞成留他。此人说丘成桐有篇文章有错，有人响应说：这是一个多么漂亮的错误。事实证明，没有留住他是一个严重的错误。

“之后，他在很短的两三年时间里做出很重要的工作。我也看过卡拉比猜想的证明，慢慢理解它的重要性，尤其是：他的证明可以推广去证明正质量猜测。毫无疑问，他是当今最有影响力的数学家之一。除了数学外，丘成桐的文学也很好。他有一个很特殊的地方，他会写胼体文。

“有人问我，现在我重新选择专业的话，我会做什么选择？我现在看理论物理，发展很是缓慢，不像我们那个时代，所以我说我会选择数学。我听说丘成桐有 60 多名毕业的博士，要我再选择一次，也许我会做他的学生。”

对我们许多人而言，早已久闻杨教授的大名，但是却很少有机会与他见面和交谈，特别是在他和太太一起出席的场合。这里是又一张杨教授和他的太太的照片。

虽然丘教授和杨教授的研究领域不尽相同，来自不同的背景和时代，但是他们还是有许多相似之处。比如，杨教授是第一位华人诺贝尔奖得主，丘教授则是第一位华人菲尔兹奖获得者。他们都在很年轻的时候获得了各自领域的最高荣誉。他们都致力于推动中国基础科学的发展，对清华大学的数学和物理学科建设倾注了大量心血。

我们都知道数学和物理学的紧密交融，仿佛因彼此而生又相依相存。虽然数学家和物理学家曾经分道扬镳，各自为政，但是命运之手又将它们连接在一起。数理的融会贯通和相互欣赏是人类文明进程中的最感人的挚爱篇章。事实上，从微积分和天体运动，到微分几何和相对论，再到李群和量子物理，直至卡拉比−丘流形和弦理论。这是一个远未结束的浪漫故事。

除了杨教授和丘教授的这次历史性会面，数学家和物理学家间的频繁交流由来已久。可以说曾经数学家和物理学家的称谓并无不同，因为这两个学科本来就没有严格的区分。阿基米德、牛顿、欧拉、高斯、甚至黎曼，谁能说他们不是同时精通数学和物理。但是科学的迅猛发展，也许对于爱因斯坦，同样的论断不再成立。另一方面，数学和物理在各自领域仍然涌现着如同丘教授和杨教授这样的伟大人物。自爱因斯坦、Dirac 和 Weyl 以来，杨教授是最懂得如何利用对称原理到物理学的物理大师！鲜为人知的是，丘教授是哈佛大学数学系和物理系的双聘教授。

除了上述这些，还有一个也许并不引人注意的事实值得一提。丘教授和杨教授都对自然界的一个基本原理 —— 镜像对称的存在与缺失现象做出了重要的贡献。卡拉比−丘流形是十维时空紧化理论的重要基石；弦理论激发了卡拉比−丘流形镜像对称的研究，开创了一个崭新的数学前沿领域。杨教授与李政道教授因合作推翻了爱因斯坦的宇称守恒定律（即发现对称破缺）而获得诺贝尔奖。

即使很多受过高等教育的人也不见得理解对称破缺的概念或者卡拉比−丘流形镜像对称原理，但是大众更喜欢讨论另一种和杨教授有关的对称。当杨教授与现任太太结婚时，他 82 岁，杨太太 28 岁；而明年杨教授 93 岁， 杨太太 39 岁。

杨教授的致辞展现了他旺盛的精力、敏锐的洞察力和天然的幽默感。他在如此高龄仍然葆有健康的身体和心态。当然，他对物理学的巨大贡献令他在国际学术界和公众中有着无数的崇拜者，他的人格魅力也为他赢得了不少粉丝。

当杨教授向丘教授道别时，他邀请丘教授一定要来参加他的百岁生日宴会。丘教授回复说，他还要参加杨教授 108 岁的生日宴会。我们都期待着杨教授在他的生日宴会上再次饱含能量和睿智的致辞。

人们往往对那些显然的事实视而不见。镜像对称的一个重要方面是数学与物理的交汇。如同双向的车流，这种影响势必是相互的。如同上面我们所提到的例子，数学与物理缺少了任何一方都无法存在。镜像对称也存在于学术之外：耶稣曾说“待人如待己”；孔夫子曰“己所不欲勿施于人”。如果人们都遵循这一处事原则，这个世界会更加安宁，但如此一来，也许又会让人觉得有些枯燥。

卡拉比−丘流形及其镜像对称只是丘教授对数学的众多深刻的贡献之一。除了数学，丘教授还有许多其他的兴趣爱好。比如他在诗词和历史方面有很高的造诣。

时空统一颂

时乎时乎　逝何如此

物乎物乎　繁何如斯

弱水三千　岂非同源

时空一体　心物互存

时兮时兮　时不再屿

天兮天兮　天何多容

亘古恒迁　黑洞融融

时空一体　其无尽耶

大哉大哉　宇宙之谜

美哉美哉　真理之源

时空量化　智者无何

管测大块　学也洋洋

数学与艺术也有密切的联系。杨太太研究中国古典建筑，在杨教授带动下，杨太太题词。是的，对美的追求是科学与人文，乃至人生与爱情的真谛。

这次宴会上，我们还准备了一本小册子，其中包含了丘教授的许多同事和朋友的评语，例如卡拉比−丘流形在物理学中的应用等。

让我们引用诺贝尔奖获得者大卫•格罗斯教授的评语：“近年来理论物理最惊人的发展是人们意识到卡拉比和丘成桐构造的漂亮的几何流形可以为十维超弦理论提供理论框架，其中六维空间紧化成为卡拉比−丘流形。古希腊哲学家和数学家一定会很欣慰，在卡拉比−丘流形紧化之下，物的本质与力的结构由这些流形的几何性质所决定。这些解与流形的研究深刻影响了过去 30 年物理与数学的发展。”

关于卡拉比−丘流形在数学上的应用，我们需要从历史的观点加以审视。数学中有许多深刻和著名的结果和定理，但是大多数数学家应该会认同，单值化定理是过去几个世纪中数学上最重要的定理之一。其分类了所有黎曼曲面，并可推出在任何曲面上存在常曲率度量。

我们再引用菲尔兹奖获得者西蒙•唐纳森教授的评语：“卡拉比在 20 世 纪 50 年代提出关于紧致复流形上给定里奇张量的度量存在性的猜想，以及丘在 20 世纪 70 年代给出的卡拉比猜想的证明是微分几何中具有里程碑意义的成就。卡拉比的证明给出了第一个具有消灭里奇曲率的非平坦紧流形的例子，从而回答了整体黎曼几何中的一个基本问题。更一般的，这个猜想和它的解决揭示了非线性椭圆偏微分方程与微分几何的深刻联系，激发了这个领域近 40 年来的巨大变革。在技术细节的层面上，丘所引入的关键想法以及复蒙日−安培方程的估计技巧至今仍然在被不断地改进和应用。

椭圆曲线的研究可以追溯到 18 世纪代数几何与复分析的萌芽。到 20 世纪中叶，人们了解了 K3 曲面的许多特殊性质。今天，受到理论物理中弦理论的启发以及代数几何的发展，我们得以认识到任意维数的卡拉比−丘流形的非凡与漂亮的性质。虽然我们对其已经有了诸多了解，还有许多深刻的问题和未解之谜，足够好几代的几何学家投身其中。”

除了这些评语，晚宴上丘教授的朋友和同事们纷纷上台发言，分享他们与丘教授交往的故事与回忆。晚宴由郑绍远教授与肖杰教授主持，他们的专业精神让宴会气氛欢快。

丘教授在多年的学术生涯中一直非常高产。一个问题是丘教授如何看待他自己的工作，特别是在庆祝他的生日会议这样一个场合。在会议开始前，刚刚出版了丘教授的综述论文选集，其中还有丘教授亲自撰写的关于这些论文的背景与评论。虽然许多著名数学家都出版过论文选集，但这也许是第一本正式出版的当代科学大师的综述与介绍性论著的合集。

以下是丘教授论文选集中的两段评论：

“在我证明具有非负里奇曲率的完备凯勒流形上不存在非平凡的有界全纯函数之后，我试图证明这个命题的实数版本，即具有非负里奇曲率完备流形上没有非平凡的有界调和函数……但是所需要的论证比我最初想象的更具挑战性……我仍然记得，为了应用极大值原理，我尝试了许多不同的检验函数。我经常怀念斯坦福校园的日落美景，我待在办公室验证那些函数，很晚才出去吃饭。

“当时我正在思考如何构造里奇平坦的非平坦度量，没人相信这种流形真的存在。然后我发现卡拉比在 1954 年国际数学家大会上的报告，其中描述了我正在思考的这个问题在凯勒几何情形下的版本……由于第一陈类具有简单的曲率表达式，凯勒流形的里奇曲率也更加简洁。爱因斯坦张量方程简化成为一个数量方程。卡拉比告诉我，安德烈•韦伊对这个猜想有 兴趣，但是认定非线性椭圆方程的方法还没有成熟到可以解决它的程度。但是因为它提供了理解里奇曲率的关键步骤，我觉得自己应该尽全力去解决卡拉比猜想。”

如果有人问丘教授最杰出的一项数学工作，答案很明确：他的关于卡拉比猜想的证明。他发表在《美国科学院院刊》上只有两页的短文给出了卡拉比猜想的解在代数几何中的精彩应用，令人激动又叹为观止。那么什么是丘教授最自豪的作品？虽然卡拉比−丘流形很重要，他的两个儿子无疑更加珍贵。