如何理解数学（下）

如何理解数学（上）

3数学中的“台阶”

现代数学的范围非常广，国际数学家大会有19个分会场，就是说即使粗分也有19个大方向。要想全面了解这些方向当然很不容易。虽然数学有很多分支，但“其理则一”，每个分支只是在某一个方面特别深入，但绝不是孤立的，不应将数学看作一些互不相关的分支或课题。如果对数学的某一个方向有了深入了解，形成很好的数学理念，那么就有利于理解其他方向。

数学的发展不仅是内容的丰富，而且有理念的提升。每个重要的新理念会促进数学的整体发展，影响到很多数学分支甚至数学以外的学科。在基础数学方面，这样的新理念有：约 400年前的解析几何，300多年前的微积分，200多年前的线性代数，180年前的群论，120年前的拓扑学、数理逻辑、李群，80年前的整体微分几何、概率论，此后更多，有复几何、模空间、动力系统、算术代数几何、几何分析等等。

由此，学习数学不应仅仅是知识的积累，还应逐步提高哲学理念，如一个一个地上台阶。

解析几何、微积分、线性代数都是近代数学的“台阶”，近二百年来这样的台阶更多，下面选几个做简单介绍。

1、群 论

“群”是1820年代伽罗瓦在研究代数方程的一个困难问题时发现的。群论在解决这个难题时的作用充分显示出它的强大，逐渐引起数学界的普遍关注。由此开创了数学的一个全新领域，其历史意义是无论如何估计也不会过分的。

由今天的眼光看来，群的根本背景是物理的运动。在群论产生之前，尽管运动是数学不能回避的一个课题，但还没有一个系统和强大的工具。群论的产生不仅使数学有了新的发展方向，而且有了新的理念，从而使群论渗透到数学的其他领域，改变了整个数学的面貌。一个典型的例子是克莱因的“爱尔兰根纲领”，将变换群看作几何的核心课题；另一个典型例子是索弗斯·李将群论应用于微分方程的研究，产生了李群论。

同时，群论也进入了数学之外的领域，成为物理、化学等学科的重要工具和核心课题。

由此可见，不懂群论的人对于数学的理解，与现代数学实在相距太远，所以难免偏颇。

顺便说一点题外话。现在中学数学教程中的“集合”概念，原本是由于群论的需要而产生的，因为群既不能解释为“数量关系”也不能解释为“空间形式”，只能解释为“集合”。但群是无法回避的，因为它在数学中处于核心地位。由此集合论也就发展起来（实际上到20世纪才成熟），进而成为整个数学的一种方便的语言。

在中学数学教程中是否应该讲“集合”，其实是很值得怀疑的。其一，引入集合的语言不过是为了讲课方便，但可能是老师方便了学生苦了（因为“集合”比方程、直线等更抽象，因而对于很多学生更费解）；其二，集合概念对于学习中学数学的各课题都不是必需的（早年的中学数学教程中都没有集合，但同样可以讲得很好，而且并不影响学生的数学素质）；其三，如果没有实质性的应用，花了很多时间学习“集合”却不能得到什么实际的好处，是很大的浪费（学生质疑“有什么用”的一个主要对象就是集合）；其四，在中学课程中不可能系统地讲清集合论的基本概念，至多只是“朴素直观”而已，但这样的直观是不严谨的（在这方面，数学界也只是在罗素发现“集合论悖论”后才明白）。

2、拓扑学

拓扑学是 1900年前后以庞加莱为首的法国学派建立的，研究连续变形下的空间整体结构。下面一个例子可以解释整体性和局部性的区别。

球面和环面（图1）的局部结构是一样的，如果在球面或环面上取一小块（如图1中的小圆片），它们的结构都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体结构是截然不同的，如果将球面想象为橡皮的，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘回去，那么不管怎样做这样的“拓扑变换”，也还是不能把球面变成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全了解局部结构，仍然可能对整体结构毫无所知。

20世纪的数学与此前的数学相比，最显著的特点就是整体性。粗糙地说，20世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方法。研究整体性的根本方法是从拓扑学的建立开始的。而关于整体结构的研究，是在此前关于局部结构的研究已经相当成熟的基础上产生的。

拓扑学给出数学的一个新的深刻理念，这个理念和各种方法逐渐渗透到数学的其他领域，改变了整个数学的面貌，并且影响到数学之外的学科如物理、化学等。

不懂拓扑学的人，对现代数学也难免有误解和偏见。

3、整体几何

空间不仅有拓扑结构，而且还有其他结构如微分结构。如上所说，早期微分几何是“局部”的微分几何，但关于整体的问题是有的，只是没有系统的方法和工具。在1930年代拓扑学已有了坚实的基础，进一步将其他结构加入应该提到研究日程中来。在解决具体问题中，陈省身做了这一开创性的工作，从此产生了“整体微分几何”。

此后，整体微分几何的理念和方法渗透到数学的其他领域，如多复变函数论、代数几何、数论等，改变了整个数学的面貌，并且影响到数学之外的学科如物理等。

4、几何分析

在1970年代，丘成桐在解决卡拉比猜想中采用了硬分析（微分方程的深刻方法和结果），这一新的有力方法可用于解决很多其他难题，从而产生了一个新的学科“几何分析”，这是现代数学中最富有活力且发展最快的领域之一，且影响到数学之外的学科如物理等。

由上面这些例子不难看出，每一个“台阶”都有新的哲学理念。因此，在学习数学时每上一个台阶，数学水平都会有本质的提高，是没有上这个台阶的人所无法相比的。不仅如此，每个台阶一旦上去，终生都不会下来了。

上一个台阶很难吗？其实未必，因为每个台阶都是始于一个原始的理念，既不深奥也不复杂，更没有上面所说的“技巧”。很多人上不去倒是因为心理障碍造成的，具体地说，如果对于数学已经有了成见，那么遇到一个新的理念与成见冲突时，就可能从心理上拒绝接受。

4数学派生出的交叉学科

很多介绍数学的作用的文章，会介绍数学的应用领域：物理、化学、生命科学、工程、大数据、人工智能、机器人等等。但非专业的读者一般只能肤浅地理解。

我们可以从另一个角度说明数学的作用。近一百多年来，数学的应用产生出很多新的交叉学科，它们原属于数学，但后来独立出去。这样的大学科有十几个：统计学、管理科学、计算机科学、系统科学、非线性科学、逻辑学、经济学、机器证明、博弈论、编码与密码学等等。

我们下面做一点简单的介绍。

01逻辑学

逻辑学原来属于文科，那时并没有严格的科学方法。直到大约一百年前，数学的方法进入了逻辑学领域，此后从根本上改变了逻辑学的面貌（参看 [3] ）。

起先是“命题演算”的产生，由此可用数学方法做“零级逻辑”推理。例如现在常见的“推理练习”题都可以转换成数学运算，而且可以机械化（即用电脑计算解决）。由此还产生了“布尔代数”。后来进入更深一级的“谓词演算”，实际上一般的数学命题都含有“谓词”（“存在”或“一切”），如加法交换律的准确陈述是“对任意两个数 a、b， 都有 a+b=b+a”，平面几何中的第一条结合公理的准确陈述是“对任意两个点，存在一条直线同时经过它们”。命题演算和谓词演算形成一个新学科“数理逻辑”。

在今天，数理逻辑已经成为一个范围很广且内容深刻的学科，影响到很多其他领域，如纯粹数学、计算机科学等，它本质上是研究逻辑的科学方法。由此，今天不懂数理逻辑的人是没有资格研究逻辑学的。

02统计学

统计学原来也属于文科，那时并没有严格的科学方法，所用到的数学很初等。直到1930年代概率论奠定基础后，产生了“数理统计”这个新学科，从此统计有了科学的研究方法，从根本上改变了统计学的面貌。

从今天的眼光看来，统计的基本任务是“大数据处理”。由于大数据难以避免“模糊性”，所以概率论是不可或缺的基本工具。但今天统计学中所需要的数学工具远不止概率论。

在今天，统计学的研究者若没有很好的数学素质，是不可能在高端的统计学杂志发表文章的。

统计学的广泛应用使其成为一个很发达的学科。在很多高水平的大学里，统计系不仅独立，而且比数学系大。

03运筹学

运筹学可以看作应用数学的一个方面。在很多应用数学问题中有特定的“目标”，例如速度、质量、成本、效率等，希望对此目标做得尽可能好。在数学中这称为“优化”，它经常可以表达为一个函数的最大值问题。

运筹学广泛应用于工程、经济、城市规划、金融、军事等很多领域，是一个很发达的学科。在今天，很多高水平的大学里有运筹学系（如加州大学的 IEOR），比数学系大得多。

04信息科学

“信息”是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。信息科学的建立起源于香农在1940年代对通讯的研究。

通讯会遇到噪声干扰，香农寻求一个可以刻画“混乱程度”的物理量，他发现所得到的公式竟与热力学中“熵”的公式一致，就把它也称作“熵”。多年后经过很多人的研究，终于明白“信息熵”与热力学熵的一致性。由此可见，香农的“熵”揭示了一个深刻的物理奥秘，有极重要的哲学意义。

信息科学也是从数学中派生出来的，公认 1948 年香农发表的论文“通信的数学理论”是信息论的奠基之作。

在今天的“信息社会”中，信息科学所起的作用无疑是巨大的。现代信息科学是一个独立学科，但其数学性很强。

05控制论

与“信息”相似，“控制”也是一个物理对象，但并没有进入古典的物理学。

一般认为1948年维纳发表的《控制论——关于在动物和机器中控制和通讯的科学》一书是控制论的奠基之作。维纳将控制论看作是一门研究机器、生命社会中控制和通讯的一般规律的科学，是研究动态系统在变的环境条件下如何保持平衡状态或稳定状态的科学。这也是有极重要的哲学意义的。

控制论也是从数学中派生出来的。在今天，控制论的思想和方法已经渗透到几乎所有的自然科学和社会科学领域。

泛言之，运筹学、信息科学、控制论等都可以归入“系统科学”这个大类。

06编码与密码学

在通讯中常要将字母转换为数字信号，这就是“编码”。编码的方法多而广，例如为了通讯保密故意改编原文（即“加密”），但要使接收者能够再改编回原文（即“解密”）。这方面的发展形成了“密码学”。

编码的作用远不止于保密。另一个重要作用是“纠错”。在通讯中难免出现信号传输错误，采用适当的编码可以减少错误，或在发生错误时自动纠正。在计算机和网络中大量使用编码。

最早的编码可能是由“聪明人”拍脑袋想出来的，但编码的深度发展离不开数学。常用的数学工具有代数、数论、组合学等，但不排除使用其他数学方法。

07计算机科学

计算机最早的任务目标是将数学计算机械化，其可能性建筑在早期的数理逻辑基础之上。由于这个背景，数理逻辑是今天计算机专业的学生都要学习的基础课。

计算机发明出来以后，在使用中遇到很多新问题，如计算机系统结构分析、计算机可靠性论证等，遂形成专门研究这些问题的一个新学科，即“计算机科学”。

当今的计算机科学是数学、电子科学、信息科学等学科和技术科学的交叉。不过早年的计算机科学是由一些数学家奠定基础的。我国计算机科学的创始人全是数学家。

计算机科学所用到的数学远不止数理逻辑，数学物理的很多工具都要用到，此外还有“离散数学”、代数、拓扑等。

08数理经济学

与统计学相似，早年经济学所用到的数学很初等，但19世纪有一些经济学家使用了较深的数学，后来他们的工作被称为“数理经济学”。不过现代的数理经济学主要是1960年代以后的工作，这些工作所用到的数学相当深。

在今天，经济学的研究者若没有很好的数学素质，是不可能在高端的经济学杂志发表文章的。

09博弈论

博弈论始于1920年代策墨罗、波莱尔、冯·诺依曼等数学家研究对抗性的游戏，而对策不仅存在于游戏中，也存在于生物行为、经济、军事、政治、社会关系、外交等领域，所以后来有了广泛的应用。

有多位博弈论专家获得诺贝尔经济学奖。

10数学机械化

数学机械化起源于机器证明问题，即能否用计算机来证明一个数学定理。1976年计算机被用来证明图论中的四色定理。不能期待用计算机证明一般的数学定理，但可期望对某个数学领域有一个一般的方法，可以证明限定范围的所有定理。

1970年代，吴文俊给出了欧几里德几何中一般的标准类型定理的机器证明方法，这可以理解为一大类数学定理可用计算机证明。后来实现的计算机程序，可通过人机对话将问题输入，计算机可自动寻找有关所输入的几何图形的所有定理，并给出每个定理的证明（证明一般较为冗长但人可读，参看 [10] ）。具体的实现过程使用符号计算。

数学机械化可使数学证明的工作大为减轻，不需要伤脑筋的工作即可解决。它可以看作一种人工智能。上述机器证明不仅比AlphaGo早得多，也强得多（AlphaGo只能大概率地保证给出解决方案，而上述机器证明能绝对保证给出解决方案）。

迄今为止在其他多个领域也有数学机械化的研究，但尚未在其他领域得到如欧几里德几何领域那样完善的结果。

11管理科学

管理原属社会经验领域，并无基本的科学的方法。自 1920 年代后数学家尝试用系统科学的方法研究管理，逐渐产生了管理科学。

我国的管理科学的开创者都是数学家。

12非线性科学

“线性”是数学中的一种具有广泛应用的性质，例如在通讯中需要将信号放大而不改变信号的结构，这就是“线性放大”。但另一方面，通讯中的载波、检波等要改变信号的结构，这是需要通过非线性的方法才能达到的。

“非线性”现象在物理学、天文学、地球科学、生命科学等很多学科和公共工程、电子技术等很多应用领域普遍存在，所涉及的问题相距甚远，但在数学上有共性。由此形成一个专门研究非线性的交叉学科。

13金融数学

信贷、股票、期货、保险等金融课题的研究离不开数学，而且深入的研究需要相当多的数学工具如微积分、概率论、组合学、微分方程等等。甚至还用到一些高深的数学工具，例如山东大学彭实戈教授因对“倒向随机微分方程”的研究成果而受邀在国际数学家大会上做一小时报告，就是因为这项成果可以应用于金融。

在 1950年代后，数学在金融研究中的日益重要作用形成了金融数学。当今不懂金融数学的人很难在高水平的金融杂志发表论文。

14精算学

精算学是针对金融领域的应用技术科学。

银行业、保险业、证券业等对社会提供各种服务“产品”，需要服从一系列法规和其他规则，而提供服务就要使客户盈利，但同时自身也要获利，这就涉及合理定价、避险等很多问题（例如分期付款的房贷应如何确定月供，怎样安全地分散投资等等）。

对每个具体问题都需要专门建立数学模型来解决，这样就形成了大量的数学模型和方法。一个“精算师”需要在微积分、概率统计等方面达标，并掌握很多重要的数学模型。

除了上述学科外，数学还在不断渗透到其他领域，如生命科学、医学、军事、认知科学等等。今天人们已经认识到，没有什么学科是数学不能进入的，而数学的进入意味着新科学的形成。由此可见“数学是研究数量关系和空间形式的科学”之类观点实在太狭隘了。