如何理解数学（上）

整个宇宙就存在于一杯葡萄酒中，这是诗人的话语。物理学家费曼就此评论道：如果我们微不足道的有限智力为了某种方便将这杯葡萄酒——这个宇宙——分为几个部分：物理学、生物学、地质学、天文学、心理学等等，那么要记住，大自然并不知道这一切。数学这门古老的学科经历了数千年发展，在近一百多年来更是开拓出众多分支，分离出多种应用学科。而一般人所学的则是约400年前的解析几何、300多年前的微积分、200多年前的线性代数，更新一些的可能包括180年前的群论、120年前的拓扑学和数理逻辑。再后来的数学多被认为过于深奥抽象，难以得其门而入。

然而，这篇文章指出，这种印象不过是不当教育导致的偏见，数学学科虽多，但其理则一，数学中的每个台阶都是始于一个原始的理念，既不深奥也不复杂，都是研究来自自然界的问题。

作者 | 其故

来源 | 返朴（ID：fanpu2019）

1对于数学的普遍偏见

当今的教育使得一般人都学过一些数学，而且学习的时间相当长（参看 [4] ），这使得很多人认为自己懂得数学，甚至妄谈数学。但一般人所学的最新的也才是二百多年前的数学，往往对于近二百年来的数学一无所知，所以难免对于数学有误解甚至偏见（参看例如 [5] ）。

妄谈数学的人并非完全不懂数学，如果完全不懂倒不至于妄谈了。问题在于近一百多年来数学有了巨大和根本的发展，一方面有了更深刻的理念，另一方面其应用领域极大地扩展了。如果对此完全不了解，那么对于数学的看法难免过于狭隘，简直可以说是管窥蠡测了。教科书中“数学是研究数量关系和空间形式的科学”（参看 [1] ）这个教条，也是导致很多人对于数学有偏见的一个原因。这个说法始于恩格斯，后来列入前联的教科书中，继而进入我国的教科书。恩格斯是唯物主义者，他反对将数学看作纯粹意识的观点，认为数学所研究的是客观世界，而受时代的局限他还不了解群论（即使高斯也难以接受），所以从哲学上这对于恩格斯是最好的理解了。但现代人应该知道，数学的领域非常宽阔，没有边界，是不能由研究对象来界定的。即使俄国人也早已摒弃了这个教条。

多年前在数学界的一个会议上有专家呼吁，在数学界的报告（如发展规划） 中不要再写“数学是研究数量关系和空间形式的科学”这样的话，因为它不仅过时、错误，而且对于数学的发展不利。这个建议得到与会者的一致赞同。但在数学界不能主导的领域，这个教条仍在起着误导作用，使得很多人对于数学的了解局限于一个很狭窄的范围，更不会主动地将数学应用于以往不曾属于数学的领域。

如 [5] 中所看到的，很多网民认为“数学基础就是初等数学+高等数学+算法+奥数”，“数学对很多人来说是枯燥的、深奥的、抽象的”，甚至是乏味的、无用的、无聊的。这是教育垄断造成的严重后果。

陈省身先生说过：“数学是一切科学的基础，数学的训练普遍的有用。”但对于数学有严重偏见的人是不可能理解这两句话的。

这些偏见来自多方面的原因，其中一个重要原因是教育方面的失误。而纠正偏见对于数学教育是一个不能回避的任务。

2对于数学的偏见的背景

如上所说，很多人对于数学的严重偏见，是由不当的数学教育造成的。

数学教育有其特有的规律（参看 [4] ），不仅学习时间长，应用广泛，而且需要激励兴趣，培养科学的严谨性，因材施教，以及提升科学理念。

数学教育领域有一个共识，就是一个现代人学习数学的历程大体上沿着数学发展史的历程，类似于一个胎儿成长的过程大体上沿着生物进化的历程。胎儿的发育过程大体要经过从单细胞生物到人类的进化过程，要经过类似原生动物、腔肠动物、脊索动物、灵长类等各个阶段，最后才长成人类的样子。而学习数学的过程，要先走过有数万年历史的识数过程，再学习古典（有数千年历史的） 代数和几何，再学习更近代的内容，直到费尔马和笛卡儿建立的解析几何，尔后可以学习微积分及更近代的数学。识数的时间相当长，可能在数学的学习中占大半，这和数学史上人类识数的时间长是一致的。

因此，判断一般人（尤其是中学生） 的数学水平的基本标准是历史的，即看他懂的是哪个时代的数学。

如今的数学文献浩如烟海，很多人容易有一个错觉，就是数学的发展就是数学研究成果的积累。那么，成果越积越多，迟早会使得任何人都不能全面把握，甚至只能懂得其中很狭窄的一部分。其实不然，成果的积累是华罗庚先生所说的“由薄到厚”的过程，但他还说过有一个“由厚到薄”的过程，这恐怕不是很多人都明白的。

对于数学，很多人崇拜技巧高的人，甚至看不起技巧不高的人。很多人以为数学是聪明人的游戏。

其实数学的发展方向，是老的数学越来越成熟，越成熟就越简单，越容易，越接近普通人。这个过程，主要是通过理念的提升来实现的。

举例说，中学平面几何中有很多习题是很难的，即使很好的学生也未必都能做出来。这样的习题对于锻炼学生探索和解决问题的能力是有好处的，但很多习题难在对解题方法的苛刻限制，即只能使用平面几何教程中讲授过的方法。如果学了解析几何，对其中很多习题就可以建立坐标系通过计算来解决，不需要什么技巧，难度也大为降低，普通学生都能做出。即使对于很好的学生，像上面那样做平面几何难题也应适可而止，有精力和兴趣可早些进入解析几何，那么以前学的很多方法和技巧即使忘掉也没有关系，不需要全都记住而成为沉重的负担。这就是“由厚到薄”的过程。

再举个例子：球的体积怎样算？在高中教科书中是用祖暅原理计算的。祖暅原理本身就不很容易懂，而利用祖暅原理计算球的体积，需要相当高的技巧，实际上大多数高中生没学明白。更大的问题是，如果换一个计算体积的问题，还得再寻求新的方法，无法保证一定能算出来。但是，如果学了微积分就会算很多面积、体积，其中球的体积只是一个很容易的问题。这样，学了微积分就可以“忘掉”很多计算面积、体积的初等方法和技巧，这也是“由厚到薄”的过程。

不幸的是，很多中学教师所教的，很多中学生所学的，是在“初等”层次上反复练习，掌握“题型”和技巧等（都属于“由薄到厚”的范围），然而这样的学生无论“题型”掌握了多少，技巧有多高，比起一个学好了微积分的学生还是差一个档次。简言之，前者的数学水平还在牛顿的时代之前，后者已进入近三百年。

由此可见，很多中学生，尤其是聪明学生，将大部分时间和精力耗费在学习初等“题型”和技巧上，是很大的浪费，有那功夫，数学分析、高等代数等更高的台阶都能上去了。不仅如此，还常见他们很困惑，问诸如“数学有什么用”之类的问题，因为他们做的很多习题，学的很多“题型”和技巧，并无应用背景（除了考试以外）。反之，例如学了微积分就会算很多面积体积，自然就不会问“数学有什么用”了。

理念的提升，远比技巧的提高重要。以解析几何为例，如果一个学生经过学习，深刻领会了代数与几何的内在联系，那么在多年后即使忘记了教科书的大部分细节，遇到问题仍能主动地将代数与几何问题相互转化，其创新能力绝不是仅掌握了很多技巧（即使不忘） 的人所能比的。

还有一个对于数学的误解源于“高等数学”这个词，其实它只是高等学校非数学专业的基础数学课程的名称（这个名称当然不恰当，国外都不用，但国内沿用了多年很难改），并非“高深”，更不是“最高”。其内容为大约三百年前的数学，主要是牛顿（1643-1727） 时代的数学，最高的也不超过欧拉（1707-1783） 时代。某些非数学专业的学生还需要学习更深一些的数学，例如电工专业的学生要学习拉普拉斯变换、傅里叶变换等二百年前的数学。

说到这里可能有些读者望而生畏：需要学的数学这么多而且越来越难，怕是这辈子没法学好了。其实不然，即使是一个小学生也可能有很好的数学素质，而中学生中有很多可以达到相当高的数学素质。数学学科虽多，但“其理则一”，都是研究来自自然界的问题，在这一点上与其他科学并无不同，所不同之处是其绝对真理性（参看 [8] ）。一个人的数学素质的标志不是数学知识的多少，而是数学理念的高度。下面我们会对此详细解释。

如何理解数学（下）