美国奥林匹克数学题

家长是孩子最好的老师，这是奥数君第909天给出奥数题讲解。

今天的题目是不定方程问题，来自第5届美国数学奥林匹克学术活动，那一年的题目共有5道，这是其中的一道。解题所用知识不超过小学5年级。

题目（5星难度）：

自然数a,b,c满足a^2+b^2+c^2=(ab)^2,请写出所有符合条件的a,b,c。

注：a^2表示a的平方。

辅导方法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟仍然没有思路，再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于不定方程问题，又叫做丢番图问题。这类问题没有固定的解法，通常是通过观察方程本身的特点，逐步缩小求解的范围。解题过程会用到费马的无穷递降法，您可以参见4月14日的题目(点击进入)。总的解题思路是：先讨论a,b,c的奇偶性缩小范围；再针对讨论结果使用无穷递降法，最后得到所需的答案。

步骤1：

先思考第一个问题，a,b,c三个数中可能有奇数吗？对任意一个奇数2n+1,(2n+1)^2=4(n^2+n)+1,故奇数的平方除以4余数为1。首先考虑a,b是否可能都是奇数：如果a,b都是奇数，则 等式右边(ab)^2除以4的余数为1，且a^2和b^2除以4的余数也为1，不管c是奇数还是偶数，等式左边除以4的余数都不是1，故a,b不全是奇数。则ab一定是偶数，等式右边(ab)^2除以4的余数为0。如果a,b,c中含有奇数，等式左边除以4的余数不可能是0。为保证等式成立，因此a,b,c三个数都是偶数。

注：在丢番图方程中，

使用余数缩小范围是常用方法。

步骤2：

再思考第二个问题，考虑原题目的答案。步骤1中得到了a,b,c都是偶数，假设a=2d,b=2e,c=2f,代入a^2+b^2+c^2=(ab)^2中，有：d^2+e^2+f^2=4*(de)^2,上述等式右边除以4余数为0，根据步骤1的后半部分可得，d,e,f都是偶数。这说明a,b,c除以2后还是偶数。再重复一次上述过程可得，d,e,f除以2后还是偶数。这说明a,b,c除以两次2后还是偶数。不断重复上述过程，a,b,c除以任意多次2后还是偶数。满足条件的a,b,c只能全是0。所以原题答案是a=b=c=0。

注：上述不断除以2的过程，

就是费马首创的无穷递降法。

思考题（3星难度）：

自然数a,b,c都不是3的整数倍，a^2+b^2+c^2是不是3的整数倍？