第六十届国际数学奥林匹克竞赛（IMO）试题

今天第一天比赛已经结束，第一天试题如下：

第六十届国际数学奥林匹克（2019年）

英国

第一天

1.设整数集为 Z.求所有函数f :Z →Z使得对任意整数a，b都有f(2a)+2f(b)=f(f(a+b)). 

2.在三角形ABC中，点A1在边BC上，点B1在边AC上.点P和点Q分别在线段AA1,BB1上，满足PQ与AB平行.设P1是直线PB上的一点，满足B1在线段PP1上（不含端点）且∠PP1C=∠BAC ，类似定义点Q1在直线QA1上一点，满足A1在线段QQ1上（不含端点）且∠CQ1Q+∠CBA

证明： P，Q，P1，Q1四点共圆.

3, —个有2019名用户的社交网络，这些用户中有某些人是好友关系，这里的好友关系是相互的.下述事件在他们之中反复发生，且一段时间内只发生一次：

有三个用户儿A,B,C满足A是B与C的共同好友且B,C间没有好友关系，在事件发生时，B,C成为好友且A与B,C均解除好友关系.其它的好犮关系均保持不变.

开始时，有1010个用户每人有1009个好友，另外的1009个用户每人有1010个好友.证明：存在一个事件序列使得其发生之后每个用户至多有一个好友.