来自美国的超难奥数题思路解析

家长是孩子最好的老师

今天的题目是分数问题，题目来自美国的一次数学学术活动，解题所用知识不超过小学6年级。

题目（超5星难度）：

a和b都是非零的自然数，且b小于100。把分数a/b化为小数以后，小数点后会不会出现连续三位数是143的情况？

辅导方法：

将题目写给小朋友，让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于分数问题，虽然题目非常简短，但难度很高简直无从下手。

要想说明可能会出现143，需要构造出相应的a/b；

要想说明不会出现143，需要给出严格的证明。

在此说个小技巧，大部分问会不会的题目，答案多数是不会，思考时要重点从证明的角度着手。

由于143的位置是任意的，得要办法固定它们的位置。

因此总的解题思路是：假设会出现连续三位数是143，看能否推出矛盾。

首先把小数化为0.143...的形式，然后利用b的范围不大于100

步骤1：

先思考第一个问题，假设会出现连续三位数是143，把小数转化为0.143...的形式。

如果小数点后第k+1个数字起，连续三位数是143，则a/b乘以10^k后，(注：10^k表示10的k次方。)就会变成0.143…的形式。

故存在自然数m,使a/b*10^k=m+0.143…,化简即(a*10^k-m*b)/b=0.143…。

因此存在自然数n=a*10^k-m*b,使n/b=0.143…。

步骤2：

再思考第二个问题，考虑使用b的范围。

由于0.143 <=0.143… <0.144,故0.143 <=n/b <0.144，

两端同时乘以1000b可得：143b <= 1000n < 144b,注意到143*7=1001，144*7=1008，

两端同时乘以7可得：1001b <= 7000n < 1008b,

两端同时减去1000b有：b <= 7000n-1000b < 8b。由于b>=1,故1 <= 7000n-1000b；

由于b < 100,故7000n-1000b < 800。

因此1 <= 7000n-1000b< 800。

步骤3：

综合上述几个问题，考虑原题目的答案。

在步骤2中得到了7000n-1000b的范围，由于7000n-1000b=1000(7n-b)，故7000n-1000b是1000的整数倍。

但1到800之间没有1000的整数倍，出现矛盾。

这是因为假设的条件并不成立，

所以不会出现连续三位数是143。

思考题（3星难度）：

在十进制下的无限循环小数a，在7进制下还一定是无限循环小数吗？