数学的用处（上）

数学的用处（一）

作为科学家的我们相信，世界是一个复杂但逻辑高度自洽的体系。但因为世界的复杂性，大部分简单直观逻辑都走不远，或不可靠。比如说，某地发生火灾，天气因素(A)更重要还是人为因素(B)更重要？对于这个问题，大部分人可能会下意识地猜一个答案，但更精确的答案可能既非 A 也非 B，而是“夏天 A 重要，冬天 B 重要”（条件），或者是“A 和 B 单独出现影响都不大，但是同时出现影响就很大”（相关），甚至是“A 后于 B 出现则 A 重要，B 后于 A 出现则 B 重要”（时序），更有可能是“A 出现一次没影响，B 出现一次就挺重要，但 A 出现很多次则成为主要因素”（频率）。如果一旦通过数据和理论分析，能得到这样精细的结果，那我们对世界的认识就又深了一层。反之，如果一个学科没有反直觉的结果，一切都顺理成章，一通到底，那它一定是还没有发展得太深入。

面对这样的任务，我们平常使用的自然语言就暴露出不足来了。首先是不够简洁， 前面的例子读者可能已经注意到，每一次我们使用自然语言来描述天气(A)和人为(B)之间的关系，句子都非常长非常绕口。更严重更麻烦的问题，是自然语言有二义性，说风不是风，说雨不是雨。今天说风，是指空气流动，明天说风，指时尚流行，后天说风，指疾病伤痛。这种概念的不确定性在日常生活中比比皆是，甚至是想象力、创造力和幽默感的源头，却也会给研究带来麻烦。试想，若是同一符号指两个不同的概念，那同行间该如何交流？若是今天写下的词句和明天写下的意义不同，那如何重复别人的逻辑分析和实验？究其根源，是自然语言与环境的交互太过剧烈，一句话乃至一个字，不仅仅是表达字面意思，背后都承载着我们此时此地的所思所想和喜乐哀愁，乃至文字的历史和文化的传承。而做研究，可是要轻装上阵的。

与文字类似，比喻和插图也会有同样二义性的问题。虽说一图胜千言，但图毕竟是二维，图上画的也多半是日常物体，它所表达的含义，能有小半接近复杂世界的运转规律，那就是不错了。事实往往是：分析的理论很抽象，但日常生活太局限，找不到一个具体物品和它有百分之一百的完全对应，于是就只好东一块西一块，对理论的每部分做个局部的比喻，以让人有大致而正确的形象。但要说理论能用一两张图完全解释清楚，就不是每次都能做到的。

举个例子，说电流像水流，从高势能处流向低势能处，这个是对的，但是水流没有 极性，电流的载流子却有极性。因此“水流说”不能解释电流在磁场中的霍尔效应。黑洞像吸尘器，能把周围的一切物质都吸进去，但黑洞还有霍金辐射，这个吸尘器 说不能解释。一句话，形象的比喻能让听众抓住要点，但远远不是事实的全部。

（当然或许有人说吸尘器也可以把吸起去的物质倒出来，但是和霍金辐射比，两者的机制是完全不同的，强要类比只会给人错误的印象。）

数学很好地解决了这两个问题。首先，每个数学符号本身毫无意义，它们的意义完全是它们所在的公式、定理及理论框架赋予的，这样不管读者是哪国人，受哪种教育，不管他的人生经历和社会经验，不管他的性格是外向开朗还是内向深沉，只要从头细细看起，就都能完全把握理论的所有成分，而不会导致误解的发生。其次， 因为符号的意义明确，不同符号间的简单拼接就能表达复杂但明确的含义，因此书写简洁。相比之下，如果拿“金木水火土”充当一个理论体系中的数学符号，那因为它们在日常生活中有根深蒂固的含义，理论内外的界限就不一定会非常清楚，很多时候一不小心就会误读，思考也会被常识“绑架”而偏离正确方向，就达不成准确表达的目标了。

当然，数学对理论的发展还有更多作用，之后的几篇会一一陈述。

有了数学作靠山以后，很多文字及图片的二义性可以消除，而科学专著的作者们， 也就可以任意使用漂亮形象但不太精确的图示，做有趣生动但不太准确的比喻了。正因为如此，这些用于让逻辑关系形象化的文字解释、比喻和插图，都是在特定理论下产生的，只能做特定的解读，导出特定的结果。脱开理论背景而孤立地看，就恢复其二义的本性，存在被天马行空地误读的危险，千万要小心。比如说“薛定谔的猫”仅仅只是用来说明“微观的量子叠加态的宏观对应非常不可思议”，但不能理解成”薛定谔的猫很牛“，“做猫就要做薛定谔的猫”之类。

理解了数学的功能和作用，做研究的时候拿它当“定船的铁锚”是再好不过了。在学习理解前人的工作时，先把文艺细胞和想象力创造力收起来，把自己变成一个完全没有创造思维的人，按照文献里展开的故事，一步一步地照着去推演，去理解。为了验证理解的准确性，问自己问题和做习题是一个很有效的办法，在这个环节中数学可以提供最为精细的反馈，指出哪里正确，哪里错误。一旦对这门学科的理解大体正确了，进入前沿研究阶段，创造力才可以涌入，运用该学科的基本原理，推陈出新。在这个时候，思维可以随意游走，做各种尝试，科学的直感可以在迷茫中点亮明灯，但只有它们经过了数学的考验，在逻辑上能和已有的理论自洽共处，在实验中和已有的数据相符，这块新大陆才真正是被征服了。

在做过若干次这样的探索后，才会体会到“世界是简单的”这句话的精神实质。所 谓简单，是指在充分认识和体会到世界的复杂之后，突然发现了一些共通的原理， 发现了一些有趣精巧的结构，而从心底发出的感叹，世界是简单的，但是是以一种 常人想像不到的方式简单；问题被漂亮地解决了，但方式方法却在当初的意料之外。要是一开始把简单作为指导方针去看待世界，去研究问题分析问题的话，那我觉得 是本末倒置了，只有在经历过各种烦人细节之后，才能知道主次取舍，知道怎么抓 住主干而忽略其余，问题分析才能简明又透彻。

除了极少纯粹的空想最后实现的例子，在大部分情况下，不对问题有深刻理解，不规范想象力的产出，是不可能得到任何有意义的结果的。想象力就如很多只猴子踩打字机，可能每天踩几百页纸出来，但要让它们踩出一部好作品，概率微乎其微；

如果是一个八岁的孩子，每次能打出一个完整的单词，那概率就会变大；更进一步， 如果是一位作家在码字，那概率就已经高很多了。一句话，想像力越强，则成果越 多（但未必有意义）；基础知识越丰富思考越深入，成果越可信质量也越高，两个 缺一不可。

爱因斯坦说“想象力比知识更重要”，那是站在他的水准上说的。

 

数学的用处（二）

那么怎么学数学才好呢？

首先，要抓住大节。在一篇文章中，所有的概念，推理，公式全是为了达成某个目 的，因此先把目的搞清楚就是最重要的。每篇文章的摘要和引言就是为此所设，既 能让读者快速筛选文章，又能引导读者思路。读者有了思路之后，大脑中相关的数 据都已载入内存，再去看正文，匆匆两眼就可以知道大体框架是什么，哪些概念和 公式是主要的，哪些是细节，然后集中精力把主要脉落理顺就好了。这样去看文章， 又快又好。

站在这个立场上，我不是很赞同“先学好数学，研究才能做好”的观点。一切手段都是要为目的服务的。数学分支何其庞杂，全部读完不知道要花多少精力，而且在没有定下目标之前就钻进书本里，就不知主次，经常有误把细节当成重点的事情发生，可以说是浪费时间了。举个例子，开集和闭集的区分，在拓扑学中很重要，两个集合就差一个点，性质有天壤之别；但是如果目标是改善数值计算的算法，那其实这两者没太大区别。

我有时候想，为什么大家总是很讨厌数学，就是因为我们要硬教给学生各种开路造桥的技巧，却不告诉他们目标在何方。学生们当然纳闷，自己明明想当个编辑，开路造桥和我有啥关系？反过来，如果先明确了“让飞机飞起来”或是“让机器下棋更聪明”的目标，那么为了完成它，空气动力学或者是机器学习就成了自然而然的必修课，我们也不会抱怨复杂的概念和繁琐的推导，而是拼尽全力地去思考学到的哪些东西能让我们达成目标，这一路走去，乐趣也就多多了。

当然，如果有大把的时间可以消费，那不妨多看点，因为对一个领域了解深刻了， 才能切实地感受到要在这个领域做科研，会是什么滋味，对将来的选题大有帮助。以我的经验，以前因为兴趣而看的数学书，虽然对具体的研究都没什么用，但却培养出了一种“这样的模型是对的，那样的模型一定什么地方有问题”的直感，等到哪天碰上了难题，说不定就突然从脑子里跳出来了。

其次，要留意技巧。在科研探索的漫长探险中，数学技巧就是赖以生存的武器库。做科研，大家都从同一个目的地出发，去向不同的地方。有人攀上万丈山崖，有人潜入万米深海，有人探险酷热火山，有人志在冰寒极地。不论去哪里都是极好的，

但每一条路，都需要相应的技巧才能达到别人达不到的地方。而武器库里的武器越多，小方法小技巧越多，则面对难题和困境时可以采用的方式方法越多，就越有可能达到新的层次，发现新的事实。

形象地来说，我们从出发地远行，依稀看见远处的峰顶，虽然高耸入云令人生畏， 但数学告诉我们如何巧妙铺路建桥搭梯子到达目的地，并且知道的越多，办法就越多；若是望见镜花水月，虽然近得似乎触手可及，但数学告诉我们人力不可为，不用浪费时间，提早绕过的好。做学术也是这样，很多事看起来容易，但做起来难， 比如说像费马大定理这种形式简单的命题，几百年来无人能解，最后居然是高深的椭圆曲线论的推论；反之，有时候问题看起来无从下手，数学却给你一条巧妙的捷径战而胜之。比如两个凸函数相加是不是还是凸函数呢？直觉上每个函数有唯一一个全局最小值，加起来可能有两个局部极小值，似乎情况很复杂。但是严格证明告诉你，相加得到的函数还是凸函数，还只有一个全局最小值。这些，都是每一门学科里“反直觉”的典型体现，是学科发展中的精华，把这些关系记下来反复运用， 就会突破简单直觉的疆界，产生新的更准确的直觉和更贴切的比喻，一些本来不清不楚的问题就可以看清了，本来需要绞尽脑汁才明白的情况，现在在更抽象而简练的概念下，囊括在几句话中了。

我在读博之前，写过“学数学的七个阶段”，现在拿过来看，在磨练技巧方面，还是很有借鉴意义的：

阶段一：看到满天的公式不知所云，甚至油然而生一种敬畏心理，崇拜能看懂能让文章里充满公式的人。

阶段二：跨过了一所带来的挫败感，开始自学数学。可是书海茫茫，不知从哪里开始，也不知道学了能做什么。正因为不了解，因此对概念名词有新鲜感和神秘感， 本能地想要找题目高深的书来看，但是符号众多，晦涩难懂，马马虎虎翻过之后， 似乎没觉得学到了什么。

阶段三：跨过了理解不能的漫漫长夜之后，终于某一天发现自己开始能看懂公式， 能通过公式了解别人想表达的观点了。兴奋之情难以言表，然而过了两日又发现自己的理解有误，如此反复推敲。其间可能数次将以前的观点完全推翻，或者因为长时间不能理解而沮丧甚至放弃。

阶段四：在看过很多书和文章，及无数次的冥想苦想之后，自己的理解力终于达到了“只要花时间下去就基本理解不错”的境界，一些粗看高深的书，经过咀嚼后发现原来如此。此时可以说体会到了理解数学精妙的快乐，学数学也就入门了。

阶段五：在四的基础上，继续看书看文章。发现有些高深的东西在怪异的符号后面其实没说什么，或者说用一两句话就能简单概括。于是意识到精妙的内容不一定需要唬人的形式，新的概念后面未必有新的实质，数学真正的“心”可以完全抛却符

号公式而仅用言语就能讲得清楚，而符号或者公式不过只是为了保证逻辑严密性和表达简洁性的必要工具。

阶段六：有了五的发现，茫茫书海，篇篇文章开始有了高下之分。与人谈论时指点江山，叹有新意者少而炒冷饭者多，至忘情处颇有狂妄自得之态。

阶段七：眼光放远，勤思精修，还是发现令人拍案叫绝的好东西在十年百年前，迥异的思想，惊人的技巧，九曲十折而豁然开朗，零敲碎打而结论自成，那是一种令人心折的美丽。经典的永远是经典，时间只会证明它们的价值而不是抹去它们的存在。至此，便生敬畏之心，反省自己，想想平生所学微末伎俩与之相比判若云泥， 虚妄自负尽去，自卑也生。然而决然之心更胜于前，因为方才得窥至美至妙，又何能禁得住继续观赏的冲动呢？

一言以蔽之，就是不断看不断总结，留意别人用过的技巧和提过的方案，并且仔细收集体会，比较不同文章间的异同，然后收纳入自己的武器库里面。为了做这样的收集，时间跨度，领域跨度都可以很大。我个人很热衷这些，05 年刚开始看论文的时候，无视文章的领域，不记得作者是谁，不关心实验结果，跳过前两页，直接钻进模型里看各种技巧并且乐在其中。之后渐渐明白了文章的主旨和背景更重要， 但这一习惯仍然顽固难改，并且仍将继续顽固下去:-)

这是研究极有乐趣的地方之一。久而久之，别人的办法都逃不出自己的武器库，猜功就会越来越好，读文章也会越来越快，而自己想出来的东西，也就总是比别人更新更有趣一点，发文也就比较容易中稿。这时候就会发现，一味欣赏崇拜或是羡慕前人的工作不再重要，简单套用已有理论去解决问题也不再有趣，却津津乐道于在已有的数学大厦中裁裁剪剪，在收集好的武器库中左顾右盼，抛开花哨而无用的概念，拾取简单却关键的核心，然后重新煅造，回炉成型，为所从事的领域，打一套量身订做的，精致自洽的新框架，并从这个框架出发，提出自己的观点和想法。

这个，就是第八阶段。