美国国家奥数教练谈如何真正锻炼数学思维

怎么才能学好数学呢？

美国奥数队总教练罗博深说：数学学习中，重要的是对数学思维的培养。具备了数学思维，学生便能掌握寻找核心问题的能力。

罗教授也给出了四条建议，让家长们在家就能帮孩子进行数学思维的锻炼。

前不久，美国奥数国家队的主教练，罗博深，作为卡内基梅隆大学的数学系教授，获得大学颁发的“优秀教学奖”。

很多人了解罗博深，是因为他在国际奥林匹克数学学术活动(IMO)中，交出的一份堪称完美的成绩单。

2015、2016年，他带领美国奥数队，连续两年问鼎IMO团体冠军，改写了美国队在国际奥赛中21年无团体金牌的历史；去年，他带领队员在罗马尼亚再次夺冠，成为当之无愧的“金牌教练”。

而作为一名大学的数学系教授，他在教学领域，同样颇有成就。

今年四月，罗博深被卡内基梅隆大学授予The William H. and Francis S. Ryan优秀教学奖，表彰他在教学中的创新和热忱。

卡内基梅隆大学，这所著名的综合性大学，不仅它的计算机学院享誉全球，也以课业繁重、对学生的严格训练而著称，连续多年被普林斯顿评论（Princeton Review）评为“全美乃至全世界训练最为残酷的大学”之一。

想不到，“最残酷大学”的学术活动数学课程，却能受到学生的欢迎，选修人数逐年翻倍。

课堂上，罗博深引进了分层的教学理念，让不同能力的学生都能参与进来，而且“颠覆”和“翻转”了传统的教学模式，提倡“问题先行”，把课堂变成了由学生思考和提出解决方案的“思维训练场”。

在给低年龄孩子上课时，他也同样提倡“问题先行”的教学方法。他会充当“主持人”的角色，邀请学生们就某一个题目各抒己见，及时记录和总结他们的观点，整堂课就像是一场思维碰撞。

罗博深认为：比起数学知识的学习，更重要的是数学思维的培养。

21世纪是人工智能的时代，思维能力和创新能力变得前所未有的重要。这个时代，需要的是走在前面的人，而不是跟随者或模仿者。

“如果你想领先一步，而不是亦步亦趋的模仿，靠的就是思维。它让你在不知道从何入手的情况下，想出创造性解决问题的办法。”

罗博深在卡耐基梅隆大学

在面向中小学生的公益讲座、公开课中，罗博深经常强调“数学思维”的重要性。很多孩子正是通过他的数学思维课程，发现了数学的奇妙，爱上了思考。

那么，他究竟是如何将看不见、摸不着的“数学思维”传授给学生，让学生对枯燥的数学产生兴趣的？

我们又该怎样帮助孩子提升这一“数学思维能力”。

数学，是最基础的思维锻炼工具

前段时间，任正非在接受媒体采访中，特别提到了数学的重要性。他认为我们现阶段之所以很难依靠自主创新，正是因为缺少在数学、物理、化学等各个领域，踏踏实实搞基础研究的人才。

罗博深对此很有感触：“如果我们真的想要培养数学、科学等方面的高端人才，最根本在于提高学生对数学的兴趣，否则，数学只是考试的工具和赚钱谋生的手段。”正如他自己一直从事数学教育，正是源于对数学的兴趣，希望将这份乐趣带给更多人。

不过，相对于任正非对数学人才流失的惋惜，罗博深的想法则更乐观一些。他认为，即使没有留在数学科学领域，数学人才一样可以做出自己的贡献。

比如，Art of Problem Solving网站的创始人，也曾经是数学系学生，虽然从事了金融工作，却创办了如今全世界数学爱好者都在用的网站。

怎样提升学生对数学的兴趣？在罗博深看来，基础教育阶段，对学生数学思维能力的培养，尤其重要。

因此，作为美国奥数队的总教练，虽然罗博深一直在指导着数学领域的“最强大脑”，但是，他本人也同样热衷数学基础教育，希望每个普通的孩子，能有机会利用数学这门工具，得到思维的锻炼。

带着这样的信念，罗博深几乎每周都飞往美国不同的城市，前往大学和中小学做演讲和公开课；过去的一年里，他的足迹甚至遍布全世界，传递他独特的数学理念，也了解各个国家的数学学习方法。

作为一门基础学科，数学的重要性不言而喻。然而，一直以来，我们都热衷于学习数学知识、掌握解题套路，却忽略了数学思维的训练。

在罗博深看来，数学，无疑是锻炼思维最基础、最简便的工具。

他解释说：“虽然化学、物理等很多学科的学习，都能起到思维锻炼的作用，但是，相比较这些学科，数学不需要借助太多学科知识，就可以进行推理、证明等纯逻辑的锻炼。这也是为什么，数学，会成为所有学生最早开始接触的基础学科。”

那么，什么才是数学思维能力强的表现呢？

罗博深表示，这和你掌握了多少解题套路无关。真正的数学思维能力，是当你碰到一个完全没有接触过的题目，能独立地想出解决方案。这其中，不仅包括推理能力，还有抓重点的能力。

面对一道复杂的题目，学生往往需要“透过表象看本质”，抓住最核心问题。

罗博深解释说：“比如，桌上有两瓶矿泉水，形状不同、款式不同，我们很可能被它们表面的复杂所迷惑。数学思维能力，让你很快能找到问题的关键——它们的容量是一样的！”

无论是推理能力，还是抓重点的能力，都无法通过“刷题”而获得。

眼下，很多家长依然迷信题海战术，认为通过记忆更多的解题方法，不断地做题和训练，就可以得到数学能力的提升。

罗博深表示：数学并非是一门记忆学科，也不是考查“熟练度”的学科。

如果我们只是让孩子去记住解题技巧，不断地练习以达到熟练，这个过程中，他究竟在其中投入了多少思考？

对此，他给了一个巧妙地比喻：“就好像，虽然你看了很多场足球赛，并不代表你学会了踢球。你需要去操场，尝试踢不同的角度，在真正的踢球过程中学会踢球。

只有学生不断通过自己的思考，去寻找解题方案，日复一日地强化，才能真正起到思维锻炼的效果。”

去“刷”那些正确率只有60%的题目

罗博深反对“刷题”，并不意味着他反对“做题”。他也很赞同，在解决一道道数学题目的过程中，去锻炼思考能力。

但是，做什么样的题目？这里面却大有学问。

罗教授认为：想要提高数学思维能力，我们应该花一些时间，去练习那些真正有挑战性的难题，追求的是“质高量少”。

“只有那些学生不能一眼就看出解题方法，而且成功概率差不多在50%到75%的题目，才是值得做的，有挑战性的题目。”

现实情况却是，很多家长已经习惯看到孩子拿高分，当他们看到孩子仅有50%的正确率，会很焦虑，觉得孩子没有数学天赋。

因此，家长首先需要转变思路，思考这样的问题：“在传统考试中达到 95%的正确率，就能说明数学很好吗？这样的考试，对数学思维锻炼有帮助吗？”

罗博深强调说：“那些真正会学数学的人，反而不愿意浪费时间在正确率很高的考试和练习上，让他们感到开心的是背后的挑战，而不是表面的分数。这样的学生，不仅在数学学习上表现优异，在各个方面都会有飞快的进步。”

在罗博深的课堂上，他会提供具有一定难度的题目给学生。甚至，这些题目可能看上去有点“超纲”，是高年级阶段的考题。

但是他认为：“值得思考的好题目，有时候是不分学龄和年级的。”只要了解其中的知识点和概念，并且可以通过已知的知识进行推理，那么，它就属于学生能力范围内，可以去尝试和挑战的。

不过，无论是设置课堂练习，还是为学术活动出题，罗博深都会过滤掉这样两种题型：

首先是那些传统的，学生已经看过、练过、可能掌握一定技巧的题目；

其次，是没有真正的思考价值，仅仅只是为了增添解题麻烦程度的题目。

为了方便学生和家长，找到合适的数学思维训练题目，罗博深推荐《Competition Math For Middle School》这本书。他表示，在美国这本书非常风靡，参加初中数学学术活动的学生，几乎人手一本。

《Competition Math For Middle School》（目前只有英文版本）

这本书上的习题，分成代数、几何等不同方向，难度逐渐递增，方便学生循序渐进地思考，并且配套详尽的推导过程。

因此，虽然面向初中数学学术活动，但是小学一年级的学生，只要有了基本的加减乘数运算概念，完全可以用它进行思维锻炼。

罗博深的女儿，就是从一年级开始接触这本书。他还表示，很多感兴趣的家长，也可以通过这本书和孩子一起学习，“因为你不需要背公式、记解题套路，真正的思考过程，一点都不无聊”。

数学老师应该是一名“向导”

传统教学中，往往是由老师先做一遍示范，告诉学生某一种题型的解决思路，再让学生将这样的题型多练习几遍。

罗博深认为：这种“轻思考，重习题”的传统教学方法，并不能真正锻炼数学思维。

想要提高数学思维能力，老师在课堂上的角色是，指导学生通过自己的思考，想出解题做法，而不是老师直接示范怎么做。

因此，哪怕是面对低年级学生，罗博深也会像在卡内基梅隆大学一样，采用“翻转课堂”的形式来授课。

课堂开始前，他会展示给学生今天要解决的题目，请学生来提出想法，自己则充当“向导”的角色。在这过程中，“向导”不需要走既定路线，完全可以随着学生的兴趣去探险。当学生走进一个‘死胡同’，“向导”则会提醒，是否应该换一条路。

“这样的课堂，看似花费了时间，却能在沿途收获更多风景，也让学生知道，解决复杂的题目时，需要思考各种可能性，在多方尝试中找到答案。”

罗博深相信，这不仅能提升学生的数学思维，还能培养不断试错、大胆发散、持之以恒的思考习惯。

有了这样的习惯，当他们再遇到棘手的问题时，才会有耐心、愿意花费时间和精力，将它克服。

虽然，不可能人人都有机会成为罗博深的学生，但是他依然希望能将自己的数学思维训练方法，带给更多人。

他不仅开设了微信公众号“罗博深数学”，分享趣味数学题和自己的学习理念；也录制了一系列视频课程，让很多原本恐惧数学的孩子，也走进了奇妙的数学殿堂。

繁忙工作之余，罗博深把闲暇时间的日程表排得满满当当，占据大部分的是针对中小学生的公益讲座、公开课。因此，他很了解，学生在面对一道难题时，他们的疑惑是什么，能够想到的方法是什么。

在面对任何问题时，他都会假设自己是一名普通学生，先顺着学生的思路，尝试用他们能看懂的推理过程，一步步推导出背后的解题思路；而不是直接告诉学生，最高效、最漂亮的解题公式是什么。

正是因为站在孩子的角度，哪怕是低年级小学生，听他的课也能兴致盎然，信心十足。在这里，他们发现数学并不是一堆枯燥乏味的公式，而是一种思维的魅力与乐趣。

家长如何帮助孩子提升数学思维？

谈及自己对数学的兴趣，罗博深表示，这要归功于参加美国初中数学学术活动期间，遇到的一位数学教练，是他引领自己，发现了数学的魅力之处，也激发他成为一名数学教育者。

“在孩子的学习成长过程中，如果能遇到一个热爱数学、能激发孩子兴趣的老师，那是幸运的。如果没有遇到这样的老师，家庭环境也可以做一些弥补。”

罗博深给到家长以下几个小建议，在家庭中，也可以给到孩子正确的数学启蒙和思维能力的培养。

1数学和计算，不是一回事很多学龄前儿童和小学生的家长，往往会将数学能力，等同于计算能力。在孩子开始学“加减乘除”时，他们会太过计较孩子的计算速度，或者准确率。

罗博深强调：“数学能力，不等于计算能力，这是两回事。”不能因为孩子的计算能力薄弱，就断定为孩子不适合学习数学。这会让孩子产生“挫败感”，从小对数学产生畏惧，甚至会终身形成“我不擅长数学”的心理暗示。

2多问孩子“为什么”在家庭生活中，家长完全可以多问孩子几个“为什么”，来锻炼他的数学思维。

罗博深举例说，哪怕是简单的乘除法学习，也可以通过追问，引导孩子思考背后的数学原理。因此，自己的女儿4岁时，就学会了乘法，她可以回答出4×6是24，当然她并不是通过死记硬背，而是通过已经掌握的加法运算，完成推导。

也许，死记硬背的方法，能让孩子脱口而出，更快掌握；但是数学并不等于记忆，多一些对背后原理的思考，才能达到思维训练的效果。

3鼓励孩子去挑战难题一个真正能培养数学思维的家庭环境，会鼓励孩子去挑战那些富有挑战性的难题。

罗博深谈及，女儿在10岁左右，就开始尝试美国高中数学学术活动中，那些没有超出她能力范畴的题目。无论是一个小时，还是一整天，只要孩子愿意把时间花在思考上面，这本身就是一件值得鼓励的事情。

此外，当孩子思考遇到困难时，家长也不要直接给出答案，而是一步一步地提示和引导，永远不要剥夺让他们思考的机会。

4在兴趣的基础上，每天花1-2个小时很多家长困惑，在现有的学业压力下，一名普通学生究竟每天应该花多长时间，来锻炼他的数学思维？

罗博深表示，“应该让孩子花他们想花的时间，大概在1-2个小时。”他特别强调说，孩子是否对数学感兴趣很重要，这是前提。否则，被逼着每天学习1-2个小时，只会让孩子更讨厌数学。

家长首先要做的，是激发孩子的学习兴趣。比如，寻找有趣的数学书、思维挑战类的绘本、思维训练课程，通过这种碎片化的积累，让孩子萌发对数学的兴趣。