2018美国普特南数学竞赛第一题

求所有满足 1/a+1/b = 3/2018 的有序正整数对 (a, b)。

答案：共6对，(1009, 2018), (2018, 1009), (1009•337, 674) = (340033, 674), (674, 340033), (1009•1346, 673) = (1358114, 673), (673, 1358114)。

具体过程如下：

2018 = 2 • 1009 （注意到1009为质数）

3ab = 2•1009•(a+b)

故 ab 中必有1009的倍数

由对称性，不妨令 a = 1009x，其中 x 为正整数

则 (3x-2)b = 2•1009x

所以 3x-2 和 b 中至少有一个是1009的倍数

1. 如果 b 是1009的倍数，令 b=1009y，其中 y 为正整数则 (3y-2)x = 2y3y-2 ≤ 2y 即 y≤ 2检验可得两解 (1009, 2018), (2018, 1009)
2. 如果 3x-2 是1009的倍数，令 3x-2 = 1009k，其中 k 为正整数则 (3b-2•1009)k = 4故 k ≤ 4检验可得两解 (1009•337, 674), (1009•1346, 673)

最后，依据对称性整理，可得所有的六个解： (1009, 2018), (2018, 1009), (1009•337, 674) = (340033, 674), (674, 340033), (1009•1346, 673) = (1358114, 673), (673, 1358114)。