计算共形几何讲义：阿贝尔定理

暑假期间，老顾在清华大学丘成桐数学中心讲学，在周边参加了一些学术活动，感慨良多。前几日，老顾在中科院数智讲坛给了一次有关计算共形几何的演讲，旁征博引，倾情投入，听众也聚精会神，热情高涨，大家共同体验了一次数学之美。

听众中有一位三十年未见的朋友，子睿教授。

他不辞辛劳，横越京城，前来捧场。记得分别那年，大家都是青葱少年，玉树临风，豪气万丈；重逢时都已年届不惑，双鬓斑白，阅尽沧桑。当年我们的代数老师常若兰认为我们两人具有数学潜质，为我们倾尽心血，苦心栽培。

多年之后，我们依然在学术界孜孜以求，丝毫不敢辜负师恩。数十年后不期重逢，子睿兄依照学者的最高礼仪，送给我一本他的近期学术著作。子睿兄呕心沥血十数载，才得以完成。

书中写尽他的人生感悟和思想精髓，捧读他的大作，宛如直面他的灵魂，从中可以体悟他所经历的惊涛骇浪和爱恨情仇。我们彼此凝视着对方饱受岁月摧残的面庞和身躯，似乎努力寻找一些彼此宽慰的言语，又似乎没有必要，一切尽在不言中。

一天傍晚，老顾和朋友们参加一个拓扑研讨会。教室外狂风大作，暴雨倾盆。教室内挤满了年轻学生，有的少年憨厚率真，用家乡话不时地进行点评；有的少年精灵古怪，问着刁钻深奥的问题。

从讲者到学生，大家都沉浸在三维流形的拓扑世界，如醉如痴，酣畅淋漓。空气中洋溢着纯粹而亢奋的气氛，少年人的才气恣肆汪洋。讲到精妙之处，所有人都情难自禁地爆笑不已，少年人更是兴奋地敲击或者蹬踹课桌。望着满教室青春洋溢的面庞，老顾难抑深深的羡慕，同时更加坚信中国的数学充满希望！

暑期老顾和学生们重温了经典黎曼面理论，包括全纯线丛、陈类、黎曼-罗赫定理、阿贝尔-雅可比定理等等。数十年前，老顾在哈佛大学和丘先生学习过这些理论，那时年少轻狂，对这些理论不求甚解，浅尝则止。数十年后，积累了丰富的人生阅历之后，老顾渐渐领悟了这些理论的深意，对这些前辈数学家肃然起敬。

阿贝尔（Niels Henrik Abel）是挪威的骄傲，但个人际遇却极度凄惨，堪称数学界的梵高。

从某种角度而言，阿贝尔是幸运的，他在少年时代遇到了恩师霍姆伯（Holmboe）。霍姆伯洞察到阿贝尔的数学天赋，引导他学习了牛顿、欧拉、拉格朗日和高斯的原著，后来无私资助阿贝尔游学欧洲，拜访名家，在阿贝尔去世后，收集整理他的数学工作，使其光辉的思想得以留存于世。

阿贝尔的另一位朋友克雷勒（Crelle）是位土木工程师，对数学极有热诚，虽然不懂阿贝尔的工作，但却慷慨解囊，出版阿贝尔的论文，使得阿贝尔的才华昭著于世。

阿贝尔也是不幸的，虽然他在十九岁就证明了高于四次的代数方程没有一般形式的代数解，但是高斯不相信这个其貌不扬的少年能够解决困扰人类上千年的难题，从而从未阅读过阿贝尔寄来的论文；在巴黎，来自穷乡僻壤的阿贝尔外表腼腆、衣着寒酸，受到了勒让德和柯西的冷落。生活的贫困，学术的失意，令阿贝尔染上当时的不治之症，肺结核，不幸英年早逝，年仅27岁。阿贝尔死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知柏林大学决定聘任他担任数学教授。

依照世俗的价值标准来衡量，阿贝尔无疑是一个彻头彻尾的失败者，没有社会地位，一文不名，情感生活坎坷；但是在人类文明史上，阿贝尔是一颗璀璨的明星，极大地推动了数学思想的历史进程。

与阿贝尔时代相比，老顾所处的现代无疑进步了许多，但是一如阿贝尔这般具有原始独创性的思想未必很多。这一时代的根本性标志是计算机工业的蓬勃发展。

作为一名计算机科学和数学科研人员，老顾经常思考的问题就是：

1）计算机科学家和数学家各自用自身的语言，依照自身的美学标准，在各自的王国，自圆其说地讲述着自己的故事。那么他们是否在说同样的事情？

2）如果计算机科学家和数学家是对同一事物进行不同表述，他们是在同义反复，还是风马牛不相及？谁说得更加严密而精准，谁说得更加深刻而本质？例如多年以来，老顾经常困惑的一个问题是：天下所有的数学家都知道黎曼面的概念，都知道阿贝尔微分和阿贝尔定理，那么在现实生活中，黎曼面和阿贝尔微分究竟在哪里？物理学家有超弦理论，每根弦都是一张黎曼面。那么在触手可及的日常生活中，是否存在如此抽象概念的实在对应呢？

由陈省身先生关于等温参数的存在性证明，我们已经知道现实生活中所有的曲面都是黎曼面，从嶙峋的巉岩到精致的面庞，都是黎曼面，因而都有共形结构；但是阿贝尔微分究竟对应着现实生活中的什么事物、阿贝尔定理究竟如何影响日常生活，这个问题一直没有圆满的解释，直至最近的一次顿悟。

老顾每天开车上下班，在长岛高速公路上飞驰近一个半小时，因此对于机械工程中的计算机辅助几何设计（CAGD）有着切身体会。在和很多机械领域的学者朋友深入交往之后，老顾突然意识到机械设计方法的理论基础之一就是阿贝尔微分。

从这个角度而言，阿贝尔定理无时不刻在控制着人类的日常生活，只是我们缺乏慧眼，无法直接洞察到而已。数十年后，大梦初醒的老顾急忙将这一心得和朋友与学生分享，大家都无比激动，立刻投入到钻研阿贝尔理论的热潮之中！我们期待这一新颖视角会给工程应用带来突破。

这里，我们概述黎曼面的阿贝尔定理，在后继的文章中我们会介绍为什么阿贝尔定理是现代机械几何辅助设计的理论基础之一。很多基本的概念，可以参看前面的文章：计算共形讲义：纤维丛和陈类。

黎曼面的周期矩阵

假设是一张紧致黎曼曲面，亏格为g。选定基点和一族基本群的典范基底：

，

代数相交数满足条件：

，

图1. 基本群的基底和一个基本域。

 

我们选择全纯微分空间的对偶典型基底 ，满足条件：

。

黎曼面的周期矩阵定义成：

在这里周期阵为单位矩阵。周期矩阵是黎曼面的全系不变量，其系数并不独立，由Teichmuller理论，周期矩阵的自由度为。周期矩阵具有一些特殊性质。

---

我们考察亚纯微分的双线性关系。

定理（亚纯微分的双线性关系） 令是紧黎曼面上的全纯微分；是亚纯微分，具有单极点，并且假设基本群基底不经过这些极点，记这些微分的周期为

,

则有双线性关系：

进一步

，

这里是亚纯微分在极点处的留数，积分路径在基本域内选取。

证明：在基本域内，我们定义函数

,

由此，我们有

，

由留数定理，

。

另一方面，在基本域的边界上，我们有

这里和对应着黎曼面上的同一个点。由于是闭的，

,

由此，我们得到

,

同理可得

,

两个等式合起来就推出

。

证明完毕。

推论（周期矩阵的对称正定性）：如果亚纯微分也是全纯的，那么没有极点，等式右侧为0，我们有全纯微分的双线性关系，

。

将带入上式，我们得到

,

即周期矩阵是对称阵。令，这里系数为实数，由

和双线性关系

，

因此周期矩阵的虚部为正定矩阵。

亚纯微分的双线性关系可以推广成一般闭微分形式的双线性关系。假设和是光滑闭微分形式，则我们有等式：

。

图2. 曲面上的全纯二次微分，和对应的因子。

阿贝尔定理

黎曼面上的亚纯函数可以由其零极点来刻画，给定亚纯函数的因子，基本上就已经确定了亚纯函数本身。亚纯函数的因子被称为是主要因子。但是黎曼面上任给次数为0的因子，未必是主要因子，即未必存在相应的亚纯函数。阿贝尔定理给出了主要因子的充分必要条件。

---

Abel-Jacobi 映射定义如下，给定黎曼面上的任意一点，任选一条从基点到的路径，进行积分：,

。

如果我们选择两条不同的路径来连接和，

,

则。由此，我们定义格点群，从而定义Jacobi簇 。Abel-Jacobi映射实际上是从黎曼面到Jacobi簇的映射：。

我们需要证明Abel-Jacobi映射是非退化的。这可以由下面的引理得出。

引理 对于任意，存在基底全纯微分，使得。

证明：反之，则存在，对于一切全纯微分，都有，那么全纯微分空间

,

从而 。由黎曼-罗赫公式，

,

这说明和球面同构，矛盾。证明完毕。

---

引理：给定黎曼面上的相异两点，则存在唯一的亚纯微分，满足：

1. 以p,q为单极点，没有其他极点，且在p处的留数为+1，在q处的留数为-1；

2. 的A-周期为0，

   。

证明：考虑因子-p-q，由黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch）：

,

这里亚纯函数空间为空，因此亚纯微分空间的维数。全纯微分空间的维数为，存在为全纯的亚纯微分，它只能以p或者q为极点，且只能为单极点。由亚纯微分的留数之和必为0知道，必然同时以p和q为极点，并且在p点和q点处的留数相反。通过归一化，不妨设在p点和q点处的留数分别为+1和-1。不妨设

，

减去全纯微分，则为符合条件的唯一亚纯微分。证明完毕。

引理：上述亚纯微分满足条件

这里积分路径在基本域中选取。

证明：对全纯微分和亚纯微分运用双线性关系：

更进一步，我们有：

。

---

引理：设是闭曲线，为附近有定义的处处非零的光滑复函数，则积分

为整数。

证明：设的万有覆迭空间，将闭曲线提升为，函数提升为。万有覆迭空间单连通，处处非零，因而可以求对数，，g为覆迭空间上的光滑函数，满足

,

同理，由此。我们得到：

,

因此为整数。证明完毕。

---

定理（Abel）给定次数为零的因子，则因子为主要因子当且仅当。

证明：当是次数为0的因子时，可以写成

，

构造引理中的亚纯微分，这里。

如果是主要因子，令

亚纯微分和具有相同的极点和留数，从而

为全纯微分，我们得到

另外，我们有

,

整理后得到：

，

即

得到等式

这里

换言之，。

反之，如果，则存在整数，，使得

。

构造亚纯微分

，

则有

,

同理有

,

这里右侧第一项

并且右侧第二项

,

由此得到

。

因此，对于所有不经过的封闭曲线, 我们都有，同时所有极点的留数都是整数。我们可以恰当地定义亚纯函数：

,

那么我们有。证明完毕。

小结

阿贝尔定理断言，黎曼面上的一个次数为零的因子是主要因子的充要条件是其Abel-Jacobi的像为零。理论上，我们可以从主要因子反解出相应的亚纯函数，这对于很多工程问题起到了决定性的作用。但是，迄今为止，一般高亏格曲面上亚纯函数、亚纯微分的构造性算法依然没有被发明出来。我们希望有志青年投身到这个问题中去，早日取得实质性突破。