足球比赛中的数学问题（附SAT2数学培训介绍）

我叫杨婷，出生在陕西一个小地方，尽管教育资源很不发达，我还是凭借对数学的热爱以高考数学满分的成绩考上北京大学。毕业后，自然而然的，我成为一名数学教育从业者，职业生涯的第一站选择了深圳学而思。

经过多年的教育经验，我发现教数学最重要的是让学生爱上它。爱上数学，就相当于爱上了全世界，——因为数学无处不在。数学是观察，它帮助我们发现隐秘在物质世界之中的真理和逻辑。数学是推理，它帮助我们捕捉事物活动的内在规律。数学是想象力，它帮助我们另辟蹊径的解决难题。数学是快乐，它让我们在抽象的思考和写写算算画画之后情不自禁的大喊：“我知道了！”

所以，我授课的目的是为了让更多人喜欢上数学，了解到自己有多聪明，从巧妙的数学题中发现快乐，保持大脑积极清醒的运转。

我不仅在讲台上讲课，还编写过数学教材，分析一些国内外数学考试的特点。研究数学教学的方方面面而不仅仅是在讲台上输出，是因为我想找到一种具有普遍性的能够令学生爱上数学的教育方法，同时它又必须是有效的，能够提高学生成绩的。经过我的跟踪调研，我发现：97%的学生在上我的课之后更加喜欢数学，95%的学生在上我的课之后表示提升了逻辑思考能力，78%的学生希望在大学阶段选择数学或相关专业。

我之前说数学无处不在，那么就从世界杯说起吧。

世界杯的赛制是小组单循环赛+淘汰赛，这里面就包含了经典的数学问题，例如：小组赛一共有多少场？淘汰赛一共有多少场？这些问题即使是铁杆球迷一时也回答不出来。在这里，我会教你怎么用简单的方法计算比赛场次。

单循环赛总场次的算法：

单循环赛是指任意一支球队都跟其他所有的对手轮流交锋。首先说的是一个较为麻烦的算法，我们管它叫握手法，假设一共有N支球队，总共需要（N-1）+（N-2）...一直加到1（场比赛）。例如世界杯每个小组一共有4支球队，他们总共的比赛场数就是3+2+1=6。

但是这种方法如果队数少还好说，队数多就不好用了。我这里有一个通式：假如一共有N支球队，总共需要（N-1）*N/2 场比赛。例如世界杯每个小组有4支球队，每个组的比赛总场数就是（4-1）*4/2=6。

这样我们第一个问题的答案就解出来了。世界杯小组赛一共有多少场？八个小组，每个小组要打6场，这样小组赛就总共有48场。

双循环赛总场次的算法：

单循环赛会算了，双循环赛就更简单了。我们都知道南美洲有10支国家队，他们要通过主客场双循环赛制打世界杯预选赛，前四名直接进入世界杯正赛。那么南美区预选赛的总场次是多少呢？

只需要（球队数-1）*球队数就可以了。那么南美预选赛就一共有90场。

淘汰赛总场次的算法：

淘汰赛制，英文knockout，指的是球队捉对厮杀，负者出局，直到剩下最后两支球队争夺冠军。许多伪球迷都问过这样一个问题：平局之后要进行点球大战吗？他们的朋友总会不厌其烦的解释：小组赛阶段不需要点球大战，淘汰赛阶段才需要。为什么，因为淘汰赛必须要分出胜负，所以才衍生出点球大战这个看上去很公平的规则。

那么世界杯淘汰赛总共要打多少场呢？淘汰赛的算法很简单，参加的球队数-1就可以了。由于世界杯有三四名决赛这样的特殊规则，所以世界杯淘汰赛的总场次就是16-1+1=16场。

进阶题目——猜战况：

世界杯小组赛阶段，许多粉丝众多的传统强队没有获胜，球迷们开始通过计算每支球队的分数来判断他们出线或出局的可能性。

假设德国队的小组中，墨西哥、瑞典、韩国最终分别得到4分，3分，1分，那么德国队最多得几分，最少得几分呢？

我们知道小组赛赢球得3分，平局1分，输球0分，想要德国队分数最多，在其它球队分数已经确定的情况下，就要总分最多；想要总分最多就要减少平局，因为平局两队共得2分，而分胜负两队共得3分，所以瑞典队的3分是通过一场胜利得到的而不是三场平局得到的，德国队得分才最高。

因此瑞典1胜2负，韩国1平2负，墨西哥1胜1平1负，因为循环赛中赢球的场次和输球的场次一样多（这是韩乔生老师的发现），所以5负-2胜=3胜。德国队最多可以获得9分，小组全胜！

若想要德国队获得最低分，则瑞典队的3分就是通过3场平局得到的。那么韩国的1分来自跟瑞典的平局，它输给了墨西哥和德国。墨西哥的4分来自赢韩国平瑞典，它只能输给德国。所以德国最低分是7分，具体是赢墨西哥韩国，平瑞典。

怎么样？是不是很有趣？数学用来解决实际问题的时候，它往往不需要复杂抽象的公式，而是需要正确的思路和巧妙的算法。例如说，古人在没有小数概念和计算器的情况下，仍然能得到圆周率的近似值，那是因为他们运用了割圆术的方法，这个方法在数学界由我们中国人保持领先了1000年。

所以数学能够教会你的，不是计算能力，而是面对实际问题寻求最优解的能力。

对于足球当中的数学问题，有的朋友可能会觉得上面列举的还不过瘾，那么我再来出两道跟之前完全不同的，用作读完后的练习。

1.      一场友谊赛中，德国与阿根廷踢成4：4，德国从未落后，请问这场比赛一共有多少种进球排列？

2.      一场友谊赛中，德国对阿根廷两队一共进了8个球，德国从未落后，请问这场比赛一共有多少种进球排列？

今年我研究了SAT2的数学考试，编写了全知识点摸底测试题，由易到难，以此来判断学生对这些知识点的掌握程度，给予他们个性化的辅导，查漏补缺，提高学习效率。当然，从头到尾完整的教也是没问题的。

今年下半年，我准备研究美国数学学术活动AMC10，据我做留学顾问的丈夫说，有若干名校在申请的时候要求学生填写AMC的分数，所以看起来用AMC作为判断学生数学能力的辅助工具已经成为趋势，大学的申请竞争愈加激烈，衡量学生的标准也愈加多元化，我们必须迅速自我调整，提升自己的竞争力。