美国数学竞赛题——符号金字塔

Hello，大家好，今天我们分享一道美国数学学术活动题。

先看题目：

我们先看一下这道题目的意思：在一个符号金字塔中，如果下面两个符号相同，那么上面的符号就是+，如果下面两个符号不同，那么上面的符号就是-。图中的符号金字塔有四层，为了让顶层的符号是+，那么底层的4个符号有多少种可能性？

首先需要理解这个题目的意思，上一层的符号是由下一层决定的。反过来，上一层的符号也决定了下一层的符号。

这题让我们给出最底层的4个符号有多少种组合可能性？而顶层的要求已经给出来了，就是顶层必须是一个+。

我们可以采用反推的方法，如果想让顶层是一个+，那么它们的下一层应该是两个+或者两个-。

而要让上面的第二层是两个+，那么第三层就应该是三个+或者三个-。

以此类推，要让第三层是三个+，那么第四层就应该是4个+或者4个-。

于是，我们最终就得到下面的图形，这是一个树形图，我们用枚举方法将所有的可能性都列举了出来。

列举出来之后，我们发现上一层的每种情况都对应着下一层的两种情况。即，最上层的每种情况对应第二层的2种情况，第二层的2种情况对应第三层的4种情况，而第三层的4种情况对应第四层的8种情况。

所以，从上到下数第n层的符号组合数量就有2的n-1次方。

这样即使让我们给出第100层的情况，我们也能立刻得到答案。