天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议（二）
9、了解其他数学工具的能力
这是上一条的推论。当听报告或读论文时，你会发现，有一些你感兴趣的问题是用你不熟悉的工具解决的，而你有的工具好像对着些问题无能为力。这时候，你一方面应该考虑你的方法是否确实能够解决类似的问题，另一方面应该了解那种工具为何有效——例如，寻找那种工具有不凡效力的最简单例子。
一旦你比较了新旧工具间各自的长处和不足，以后当新工具可能有效的时候，你就能想起它来。如果做了足够的联系，你就将把它永久装入你的口袋。
10、默默问自己问题——并解答这些问题
你学数学的时候，不论从书还是报告中，通常只看到最后结果——非常聪明、优美无暇的表述了一个数学主题。然而，发现新数学的过程远为凌乱，充满朝着幼稚的、徒劳的或没有意义的方向的追寻。虽然我们更愿意忽略这些失败的探索，但实际上它们是人们获得更深理解必经的过程，並且（通过排除的过程）最终对准正确道路前进。
所以你不要怕问自己“愚蠢的”问题，质疑一个领域的传统观念。偶尔回答这些问题会带来惊人的结论，但更多会说明传统观念存在的道理，这也很值得了解。例如，对某个標准的引理，你可以问去掉某个假设会发生什么，或试图加强结论；如果经常用方法X证明一个简单的结论，你可以看看是否用方法Y替代证明；新的证明也许没有原来的漂亮，或根本不行，但却可以反映X和Y相对的能力，这也许有助于证明不那么标准的引理。
11、怀疑你自己的成果
如果你出乎意料不费力气的解了一个问题，而且你也不明就里，那你应该以怀疑的眼光来分析这个解法。特别的，这个方法也许能够证明更强的结论，而这个结论已知是错误的，那就说明此方法有问题。类似的，当你想去证明某个很强的断言，你也许应该先去找一下反例；不论是找到一个，这就节约了大量时间也许还有发表它的价值，还是遇到了一些障碍，这会提示你需要做什么来证明这个断言（特别的，它可以“找到需要消灭的敵人”）。
实际上，你也应该用这种怀疑主义对待其他数学断言；至少它们有助于你理解为什么这个断言成立和它有多强。
12、要有远见 ，Think ahead
人们很容易陷入工作中的细节而忘记正在做的工作的目的；所以人们应该常常停下来回想为什么自己在追求这个特定的目标。例如，如果你正试图证明一条引理，问问你自己——如果证出来的话，那可以怎么用这条引理呢？引理的哪個部分对你最重要？较弱的引理是否足够？引理是否有更简单的形式？是否值得尝试去掉引理中的一个假设，应用中这条假设是否难以满足？
通常，在证明引理之前，你並不准确清楚引理的具体描述，但是即使还没证明所有的细节，你也应该能从引理的形式中了解一些有关引理具体描述的东西。这些问题可以帮助你在花费过多时间证明引理前，先把引理陈述为最优形式，从而更有效地利用时间。
类似的原则也可应用到更小的尺度（如证明小的断言，或做冗长的计算）和更大的尺度（如证明一个定理，解一个问题，或探索一个研究目标）。
13、积极参加报告会和学术会议，包括那些不与你的工作直接相关的
现代科学更多的是协作行为，而不是个体行为。你需要知道其他领域的发展状况，和其他数学家的兴趣所在；這经常带给你的工作有价值的观点。
你还需要知道那些领域内和相邻领域的名人，並且向同事们介绍你自己。这样当你发现自己的工作与其他领域有新的联系时，或者需要同其他数学家合作时，就能够有所准备。
是的，有人可以用多年时间独自解决一个大问题——但他必须先与其他数学家讨论，学习所有解决这些问题所必需的技术、直觉和其他背景。不要期望能够100%理解任何报告，尤其是你不熟悉的领域；只要你学到了一些东西，没有白白费力，那么下回你去听那个领域的报告就会理解更多。
14、到不同的地方学习
到与大学时不同的地方读研修生是个好主意，同样做博士后也应该到另一个地方。即使最好的数学系也有弱点，所以到不同的数学系会扩展你的知识並且使你经历不同的数学文化。
此外，换学校会帮助你完成从大学生到研修生或从研修生到博士后的心理转変。
15、与你的导师交流
这是不言自明的——导师对你的状况非常了解，並且是指导你的最佳人选。如果情况変成你躲着导师或是导师躲着你，那就非常糟糕了。
特别的，你要注意导师的时间表，同时导师也应该注意你的时间表，和你正在干什么；若你想放长假要事先通知导师。
如果导师不在，你应该经常与其他数学家讨论数学问题，最好是有经验的数学家。
16、主动
另一方面，你不应该只依靠导师；如果你想学、做或写些東西，尽管去做（虽然有时其他東西更优先，如写论文，会暂时更重要）。查阅图书舘和互联网，与其他研修生或教员讨论，自己读论文和书，等等。
17、有耐心
任何给你的问题，一般都需要几个月的时间才能有令人满意的进展。虽然有些简单问题几周内就能解，但这只是特例。
因而几个月没什么进展是很正常的；可是通过耐心地去掉不好的进攻方向，你把东西都准备好了，所以当突破出现的时候，就可以很快推断这个问题。有时候，你（或者这个数学领域）只是还没准备好处理这个问题；有时放开这个问题（但不是完全忘掉），增进一些其他相关问题的技能，过些年再回到原来的问题经常是最佳策略。
顺便说一句，多数问题主要靠这种耐心、深入思考来解决；数学中极少有那种“找到了”的瞬间，所以不要因为你没有碰到这种事而灰心（我就没碰到过）。
18、有灵活性
数学研究本质上不可预测——如果我们预先知道答案是什么和怎么去做的话，那就不叫研究了！所以人们会被带到不可预测的方向，最后有时你会发现更有趣的新问题或数学领域。因而，虽然人们应该有长期目标，但却不应该过于死板，这些目标应该不断随新进展而更新。
一个推论是，你不应该只因为一个研究员而做职业决定（如去哪个大学），因为那个研究员可能会转走，或者你的兴趣会改変。
另一个推论是，你不应该在有可行方案之前宣布你要解决一个有名的问题，因为如果那个问题比预期更难的话，你就很难优雅地放弃那个问题而转入其他多产的方向。这点在基金申请中同样重要；说你想解决著名问题X或你想发展或使用著名理论Y並不能打动基金审批者，除非你有相应的计划（例如选择一些较容易的未解问题作为中间目标，以及取得进步的记录。
1988年，陶哲轩从澳大利亚总理鲍勃·霍克手中接受国际数学奥林匹克金牌
19、敬业
认真负起你的职责；在朋友间轻率没有问题，但对同事确是烦人，尤其是那些忙于类似职责的人。
写文章也要认真负责；你的文章将永远记载在期刊上，而且一些今天看起来聪明的东西，也许会在以后极大地使你难看。
敢于下断言是好的，但是过于self-promoting或喜欢竞争一般来说会起副作用；如果你的工作好，这会不言自明，並且最好把你的精力用来创造新数学而不是用来与老的数学争辩。
不要觉得研究中的挫折（如文章被拒，或发现了一个错误）是针对个人的；一般会有针对着些问题的建设性的解决方法，从而使你成为更好的数学家，並且避免这类问题。
在文章中大度地确认别人的工作、致谢和处理署名顺序（但要保证归属正确）。
写作的语气要客观和专业；要尽量避免个人看法（例如一个问题、文章或作者的重要性），如果有必要的话，要清楚标出来是个人看法。
在你的个人主页上，把个人的东西与职业的东西分开；同事们会访问你的主页来下载论文、预印本、联系方式和简历，同时可能対你的业余爱好和opinions並不感兴趣。（相反的，朋友们可能対你的研究不感兴趣。）
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