天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议（一）

天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议（二）

天才数学家陶哲轩亲授25条职业建议（三）

陶哲轩是世界著名天才数学家，未满13岁即获得国际数学奥林匹克学术活动金牌，是数学领域最高奖“菲尔兹奖”获得者，被称为“数学莫扎特”。他在此文中总结了给数学爱好者和研究人员的25条建议或忠告，大师真知灼见，值得收藏。

作为一个天才数学家，陶哲轩教授几乎每隔一段时间就会收到一堆咨询，例如应该怎样研究数学、怎样写数学论文、怎样开始大学学习、怎样增加自己被名校录取的机会……他说：我没有“秘方”或其他一个放之四海而皆准的处方，告诉年轻人如何获得成功。但我可以给出一些忠告。

细读这些忠告，你会发现它们真的很有用，远远不止在于学术研究领域。

下面是陶哲轩的25条Career advice。

1、数学不仅是分数、考试和方法

作为一个大学生，需要重视成绩和考试，这些考试经常更强调记住技术和理论，而不是对实际概念的理解，或是智力以及直觉。然而，当你进入研究所学习之后，你会发现一种更高层次的学习（另外更重要的是——做）数学，它要求的能力超过紧紧会记忆和学习，或摹仿一个已有的论证或处理过的例子。這经常要求你抛弃（或至少修改）很多大学时期的学习习惯；比起简单的关注于智力测试如考试，更多的需要主动地学习和实践来提高你自己的理解。

同样，在大学及以下的阶段主要教授成熟和优美的数学理论，大部分是几十年或几百年以前做出的，而在研修生阶段你将开始接触前沿，正在发展的东西——它也许会与你在大学时习惯的东西显著不同，同时更有趣。

2、数学不仅是严格和证明

对大学生，老师经常首先以非正规、直观的方式教授数学（比如按照斜率和面积的方式描述导数和积分），然后才说到要恰当的处理这些东西，需要一种精确和正式得多的方式来处理和思考这个问题（比如使用epsilon delta来描述导数）。

知道如何严密的思考当然极其重要，因为这给了你避免很多常犯错误的规范，同时消除很多误解。不幸的是，这无意中使得“模糊的”或“直觉的”思考（例如启发性的推理，从例子中判断性的推断，或其他背景如物理的类比），因为“非严格”而遭到轻视。人们时常最终放弃开始的直觉，而只能从正式的层面上处理数学。

严格的要点并非消灭全部的直觉；而是应该被用来消灭有害的直觉，同时澄清和提高好的直觉。只有结合严格的形式化和好的直觉，人们才可以处理复杂的数学问题；人们需要前者来正确地处理细节，后者来正确处理大的图像。缺乏其中一者，你将费尽时间踉跄于黑暗之中（可能有教育意义，但是得不偿失）。所以当你完全适应了严格的数学思维，你应该重新尝试在这个问题上使用直觉，並且使用新的思维技能来测试和提炼这些直觉而不是抛弃他们。

理想的情况是每个启发性的论证都能自然地暗示它对应的严格证明，反之亦然。

3、努力工作

只依赖于聪明在最后时刻完成事情也许会暂时有效，但总体说来在研修生以及更高层次上这不会有用。

为了在数学上达到一定水准，你不仅需要思考，还需要读和写大量的东西。与舆论相反，数学突破不仅（或主要）靠天才的“我发现了！”瞬间的推动，而实际上很大程度是辛勤工作的产物。当然這些工作由经验和直觉指引。困难经常藏匿在细节之中，如果你觉得理解了一个数学领域，那你应该已经阅读了所有相关的文献，至少写出了这个领域的状况的概要，并且最终写出这个主题的完整和详细的处理方法。

如果你可以仅仅构思出主要的思路而让次要的凡人来补充细节，那就太舒服了，但是，相信我，数学中决无此事。

经验表明，只有细心集合了大量细节和其他论据（或至少证明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章，才值得人们花时间关注。如果创造者都不愿意干这个，那么很可能没人会愿意做。

4、享受工作

某方面上这是上一条的推论。如果你不喜欢你的工作，那就很难投入足够的精力，从长期看持续投入精力是必要的。只因为时髦而从事一个领域远不如从事你欢喜的数学领域。

5、不要依据热门或闻名程度而作职业决定

进入一个领域或一个系，只因为它热门并非好主意，关注领域中的最著名的问题（或数学家），只因为他们的名气亦非良策——坦白说，就数学整体而言没有那么著名或者热门的东西，也不值得把追求这些当作你的首要目标。任何热门都很可能竞争激烈，只有拥有最坚实基础（特别的，大量领域中不那么热门方面的经验）的人才能够有所成就。

未解的著名问题几乎不可能“ab nihilo”解决。你需要先花很多时间在简单的（同时不著名）模型问题上，获取一些技術，直觉，中间结论，背景，和文献，从而找到有效的方法剔除无效的方法，然后才可能有机会解决领域内真正的大问题。（有时候，有些著名问题较容易的解决了，那只是因为拥有适当工具的合适的人以前没有注意到这个问题，但是対于研究很透彻的问题一般不会这样——尤其是那些已经有很多“不行”理论和反例的问题，这些理论和反例完全排除了一些着手的策略。）

因为类似的原因，你绝不应该以得奖或受到赏识为从事数学的主要原因。从长期来看，更好的方式是去做好的数学和对你的领域有所贡献，最终奖励和赏识自然会来的（实至名归）。

6、学习和再学习你的领域

数学研究中（包括你选择的专业）学无止境。

例如我仍然在学习基础调和分析中的惊人之处，而我写出此领域的论文已经十年之久了。只因为你知道一条基本引理X及其证明，你不应低估这条引理的价值——你能找到替代证明吗？你知道为何需要那些假设？已有了哪种推广，或是作为猜想的推广，抑或推广的思路？对某些应用，X是否有较弱的或是简单的形式？X在模型例子中起到何种作用？何时适合使用X？X能解决何种问题，而对哪些无能为力？在其他领域有哪些相似的引理？X是否可以归入一个更广泛的纲领？对你的领域作讲演尤其有用，或者写下讲稿或其他的说明材料，即使只为你个人服务。

通过内心的速记，你最终能够吸收即使是很难的结果，这不仅是你能够轻松使用它们，而且可以省下精力来学习更多的东西。

7、不要害怕学习你的领域外的东西

人们普遍有数学恐惧症。不幸的是，有时专业数学家也有数学恐惧症。如果为了在你的问题中取得进展需要学习其他数学领域，这是件好事——你将拓宽掌握的数学领域，同时你的工作将変得更有吸引力，不论是对你领域内的人还是对其他领域的人。

如果一个数学领域很活跃，那就值得去了解它为何如此引人，人们都在做些什么问题，有些什么棒的或者令人惊讶的见解（insight）、现象、结果。那样的话，如果你碰到了类似的问题、障碍或现象，你就知道从哪去找解决方法。

8、了解你的工具的局限性

数学教育（和研究论文）很自然地倾向于关注有效的技术。但是同等重要的是，知道你的工具何时失效，从而避免在从开始就注定失败的方法上浪费时间，转而寻找解决问题的新手段（或寻找新问题）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型状况，就非常重要，同样重要的是知道你的工具能够处理的障碍和没希望解决的障碍。同样，你也应知道在什么情况下其他方法可以替代你选择的工具，而各种方法之间的优劣各是什么。

如果你把最喜欢的工具视为一种“魔杖”，一点就把问题神奇地给解了，可你却没有别的解法或其他方法来理解这个解答，这就表示你需要更好的理解這种工具（及其局限性）。