2018年贵港市中考数学压轴题分析

【题目】

（2018•贵港）已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．

（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证：AB/PB=OM/BM；

（3）若AO=2√6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．

【答案】

解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO，∴BM=CO，

∵AO∥BM，∴四边形OCBM是平行四边形，

∵∠BMO=90°，∴▱OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中点，∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形．

 

（2）【方法一】垂直模型—弦图构造1

过点B作BC⊥AO，垂足为C，

易得四边形BCOM为矩形，

所以BM=CO=AC=1/2AO，BC=OM，∠CBM=90°．

因为∠ABP=90°，所以∠ABC=∠PBM．

所以△ABC∽△PBM，

所以AB/PB=BC/BM=OM/BM．

【方法二】垂直模型—弦图构造2

过点A作AC⊥BM，垂足为C，

易得四边形ACBO为矩形，

则CM=AO=2BM，AC=OM，∠C=90°，

所以BC=BM，

因为∠ABP=90°，∠BMO=90°，

所以∠BAC=∠MBP，

易得△BPM∽△ABC，

则AB/PB=AC/BM=OM/BM．

 

【方法三】反A（共边共角）

过点B作BC⊥AO，垂足为C，并连接OB，

易得四边形BCOM为矩形，

所以CO=BM=AC=1/2AO，BC∥OM，∠BCO=∠MBC=90°．

所以AB=OB．

易得∠ABC=∠OBC=∠MOB，

因为∠ABP=∠MBC=90°，所以∠ABC=∠PBM，

所以∠MOB=∠PBM，所以△BOM∽△PBM，

所以AB/BP=OB/BP=OM/BM．

 

【方法四】三线合一—射影定理

延长AB交直线l于点C，并连接AP，

易得AO∥BM，

因为BM=1/2AO，所以BC=1/2AC，MC=1/2OC，

即点B为AC的中点，M为OC的中点

由∠ABP=90°，得AP=CP，

易得△PBC∽△BMC，

所以AB/PB=BC/PB=MC/BM=OC/BM．

 

【方法五】四点共圆

连接AP、OB，

∵∠ABP=∠AOP=90°，∴A、B、O、P四点共圆，

由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，

∵AO∥BM，∴∠AOB=∠OBM，∴∠APB=∠OBM，

∴△APB∽△OBM，∴AB/PB=OM/BM．

 

（3）当点P在O的左侧时，如图所示，

过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，

∴PO/BD=OE/DE．

易证：四边形DBMO是矩形，

∴BD=MO，OD=BM．∴MO=2PO=BD，

∴OE/DE=1/2，∵AO=2BM=2√6，

∴BM=√6，∴OE=√6/3，DE=(2√6)/3，

易证△ADB∽△ABE，

∴AB²=AD•AE，∵AD=DO=DM=√6，

∴AE=AD+DE=(5√6)/3．∴AB=√10，

由勾股定理可知：BE=(2√15)/3，

易证：△PEO∽△PBM，

∴BE/PB=OM/PM=2/3，

∴PB=√15．

当点P在O的右侧时，如图所示，

过点B作BD⊥OA于点D，

∵MO=2PO，∴点P是OM的中点，

设PM=x，BD=2x，∵∠AOM=∠ABP=90°，

∴A、O、P、B四点共圆，∴四边形AOPB是圆内接四边形，

∴∠BPM=∠A，∴△ABD∽△PBM，∴AD/BD=PM/BM，

又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，

∴AD=BM=√6，∴√6/2x=x/√6，解得：x=√3，

∴BD=2x=2√3．

由勾股定理可知：AB=3√2，BM=3．

 

【总结】

本压轴题的关键在于第2问，第2问的结论是一个成比例的关系，那么很容易想到相似，根据结论很想直接证明△APB∽△OBM相似．如果不用四点共圆来证明的话，就感觉很难找到等量关系来证明结论．

不过也不用担心，题目的关键条件就是90°和倍半的线段关系，由此，我们就可以想到利用构造弦图或者三线合一的方式来证明我们想要的结论．通过不断尝试，发现这几种方向都是可行的．

每次我们遇到难题的时候，感觉走投无路了，那我们就要抓住题目的核心条件或者关键问题，很可能就是我们思路的突破口．找到突破口，问题即可迎刃而解，柳暗花明．

 

【举一反三】

本题是一道期末考试题，看似无从下手，但是也是曲径通幽的感觉．同学们可以思考一下，方法参考上题即可．