关于（基础教育阶段）数学的学习路线

各位家长，我提出下面的建议供参考：

第一，每个学生都应该对于基础知识非常熟练的掌握。

我建议每个学生都一定要有小学数学手册或小学数学知识清单这样的工具书。这样的书通常将所有的基础知识点归类整理，便于查阅，同时会将一些基本题型总结上去，这些基本题型通常是正常应试所需要的基础。不仅小学需要小学数学手册或知识清单来帮助掌握基础知识，而且初中与高中一样，需要数学手册或知识清单。

第二，想要长期保持数学优势，我想有两个主要的方法，一是内涵式学习，主要是加深对于基础知识的理解和运用，除了通常的辅导书之外，奥数教材是较好的内涵式学习的辅导书；二是外延式学习，主要是提前学习未来将会学到的数学知识，试图用更高深的知识来理解目前学校教育阶段所涉及的知识和题目。之所以说这种大预习一开始主要是外延式的，因为学生不可能对于这些知识理解深刻，但是这些数学知识是有终点的。从目前来看，就以GRE数学专项考试涉及的数学为终极范围足够。

如果小学大致学习完平面直线方程、向量代数、实数与代数式运算、排列组合、等差数列、等比数列，初中大致学完三角函数、幂函数、一元函数与多元函数基础知识，平面几何与立体几何，基本上初中就能学完全部高考内容。这时高中三年就可以学完GRE数学专项考试涉及的大学数学知识，事实上美国高中的课程包含有微积分课程、大学物理等大学课程供高中优秀学生选学以便名校挑选学生。因此，到高二时，优秀学生达到大学数学基础知识水平也并非做不到。

第二种方法，外延式学习。这种学习，刚开始很难深入掌握，但由于这种外延学习的知识范围是限定的，因此只要努力争取，高中知识充其量能够在初二时全部完成，大学知识在高二时全部完成。在大约初二完成大部分高中数学知识之后，就可以回过头来，进行内涵式学习。但这时的内涵式学习，由于站在高中数学知识的基础上，将比没有高中数学知识基础的初中学生，在内涵式学习中获得更深入的学习效果，对于很多初中问题的理解，将比通常的初中学生更加轻松。

而从中考结束到高一暑假，基本上就能将大学数学基础知识全部学完，从而至少有一年到两年时间站在高等数学的基础上来看高考数学，这时的内涵式学习将会极大简化高考数学，而且可以直接参加GRE数学专项考试，如果成绩不差，这时参加国内名校的单独招生考试时也极具优势，因为GRE数学专项考试成绩代表有攻读美国数学博士的资格了，对于本科录取应该更不在话下。这是长期规划。

对于小升初这一短期目标，首先仍然是通过小学数学手册检查基础知识全部掌握没有盲点，其次刷一些名校小升初的题目，后面我们也可以集中一些课时讨论小升初的难题。

数学学习的确是一个非常漫长甚至痛苦的过程，因此需要家庭、学生都要做长期投入的准备。有这样的长期计划的家长，可以将未来相关的教材先全部买上放在家里，这些教材就是未来数学学习的范围。这个范围也许一开始让人感觉很大，学生学不过来，但反过来，只要目标是有限的，通过艰苦的努力，总是可能达到的。

全部初中数学教材，最多6本很薄的书，全部高中数学教材，差不多也是6本很薄的书。GRE数学专项考试涉及的教材，一套微积分（国外出版的，最好含微分方程、解析几何那种），一本线性代数，一本离散数学，一本GRE数学专项考试辅导书。基本上这就是全部的目标，只要是有限的目标，就是简单的事情。

我现在体会到，真正的困难事情是科学研究，因为根本没有范围，不知道哪些基础知识是真正所需要的，不知道哪些问题是会出研究成果的，完全是不确定的，这才是真正的困难事情，所以真正的科学研究创新成果很难。但应试学习这个就简单多了，因为目标是确定的，学习范围是有限的，并且通常是有很多辅导书可以参考的，还有很多培训班可以上的。而科学研究就不是这样的，完全是面对不确定的领域，真正需要去探索的。

数学应试教育比汉语或英语应试教育要更容易，因为数学应试教育，需要学习的范围是非常确定的，相关教材和参考书的范围非常有限，基本上30本教材（包括中小学24本和大学基础6本，共12年）涵盖全部基础知识，参考书主要限定为一套奥数教材（从小学到高三约12本），AMC8、10、12参考书（共3本），GRE数学专项考试辅导书（共1本）。这些材料足够让学生考出好成绩并达到掌握数学的程度。

但语文和英语要考高分，相关部门推荐的课外阅读材料好像都有近百本。为什么数学容易近满分而语文和英语更难，就在于数学应试知识的确定性和有限性。