连贯性视阈下“代数思维”课程设置的比较研究

代数思维作为代数课程的基础内容，作为链接“算术”与“代数”课程的桥梁，历来受到国内外数学教育家们的关注．选择澳大利亚、中国、英国、新加坡、美国、南非作为代表国家，基于课程连贯性视阈，围绕“代数思维”课程的内容分布、知识主题选择、设置始末年级、连续性以及逻辑结构等方面进行“小学—初中—高中”国际比较研究，从而审视中国代数思维内容设置的基本特征，以期在全面深化课程改革的大背景下对中国“代数思维”内容的分布情况、内容的选择与组织有一定的启示作用。

关键词：连贯性；代数思维；课程设置；比较研究；课程标准

1问题提出

2014年教育部颁布《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，明确指出“统筹小学、初中、高中、本专科、研究生等学段”“要避免有的学科客观存在的一些内容脱节、交叉、错位的现象，充分体现教育规律和人才培养规律”；进一步指出“修订课程方案和课程标准”“要增强整体性，强化各学段、相关学科纵向有效衔接和横向协调配合”．标志着中国已经全面进入深化课程改革时期。

连贯，字面意思就是“连接贯通”；还有一层意思就是“说话、文章等意思贯通，逻辑清楚”[1]．连贯性，在国内被谈及较多的是“教育的一致性和连贯性原则”，这是德育原则之一，中小学之间、初高中之间、中学大学之间、各年级之间，都有衔接问题；种种衔接就必定要求德育工作保持连贯性，从而使学生能在有目的、有计划、有层次的教育中健康成长[2]．课程连贯性倾向于知识逻辑层面的连接贯通．基于课程连贯性的研究目前在国内并不多见，更多地是以课程编制原则的形式呈现，缺乏微观层面的深入分析和界定[3–4]．课程连贯性的研究在国外（尤其是美国）多是出现在国家课程的编制过程中，但是仍以质性界定为主。

数学学科历来皆是各国基础教育阶段的核心课程内容，其中“逻辑性”是其鲜明的学科特征之一．美国2010年发布了《统一核心州数学标准》（Common
Core State Standards for Mathematics）基于数学学科“逻辑性”的基本特征，提出了美国数学课程编制的基本原则“更集中和更具连贯性”．其中，对于内容标准和课程是“连贯的”，给出了描述性的界定：“能够随着时间以一系列有逻辑的主题和行为的方式结合在一起，并能恰当地体现学科内容次序性或层次性的本质．”[6]因此，数学课程“连贯性”的要求是结合学科具体特征，同时高于课程编制“衔接性”要求。

综上所述，研究中所指的课程连贯性主要具有以下特征：一方面，课程内容具有内部整体性（详见文中“内容分布”“主题选择”“主题连续性”等内容的探讨）；另一方面，课程内容知识在逻辑层面上具有次序性（详见文中“主题逻辑结构”等内容的探讨）。

基于数学课程标准的国际比较研究，近年来国内曹一鸣教授、史宁中教授领衔的团队均有较为深入的研究．其中，曹一鸣团队围绕不同阶段（尤其是高中阶段）数学课程标准内容分布、理念目标、不同知识单元广度深度等方面进行了一系列的探讨[8–16]；史宁中团队主要针对高中阶段数学课程标准教育理念、主要内容、呈现方式、广度深度等方面进行了一系列的分析。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的符号意识．代数思维与算术思维不同，是由关系或结构来描述的，它的目的是发现（一般化）关系、明确结构，并把它们联系起来．”[20]代数思维是数学科学由常量数学转向变量数学的里程碑，在数学发展历史中有着极其特殊的意义．“早在1994年2月，全美数学教师理事会就通过了一个关于‘为每个人的代数（algebra for everyone）’的报告．该报告指出，所有中学生都应该有机会学习代数的基本思想和方法，而学校中的代数教学和学生的成绩并不理想．进而，在美国人们开始关注代数思维（algebraic thinking）的教学研究。”2001年12月，国际数学教育委员会第12届会议（ICMI-12）在澳大利亚墨尔本召开，此次会议专门成立了早期代数工作组，将代数的起步教学作为专门的研究领域．这表明早期代数的研究开始走上了国际舞台。

近年来，国际上关于“早期代数思维”（early algebraic thinking）的研究主要集中在教学维度．比如，拉德福德（Radford）、路易斯（Luis）针对小学生代数思维（从没有符号到依托符号）的逐渐过渡，开展了一项长达5年的研究调查：研究基于教学的文化—历史理论，深入剖析了代数思维的组成成分，进而提出在课堂教学中，通过调整教学设计以及指导教学行为，进而有效地促进学生代数思维的发展[23–24]．沃伦（Warren）、伊丽莎白（Elizabeth）提出了一种基于新知识和教育学视角的模型，用于促进幼儿教师早期代数思维的专业学习，以“模式和代数线索”为例，有效协助6位一年级教师凭借自身实力成为专家[25]，等等．而基于课程文本维度的研究尚不多见，早年舒密特（WilliamH.Schmidt）团队在TIMSS项目课程分析子项目中进行了长达二十余年的研究，主要是基于各个国家课程研制者进行问卷调查，根据调查数据绘制追踪图，其中部分内容涉及“代数”内容，但是并未就“代数思维”进行深入分析，且“追踪图”具有一定程度上的“主观性”（并非完全基于课程问题，而是主要基于各国课程研究者对于本国课程的了解程度）。

选择6个国家“小学—初中—高中”整个基础教育阶段的现行数学课程标准文本作为研究对象，以“代数思维”内容为例，首创新型课程研究工具WTTM进行课程连贯性的国际比较研究，以期对中国数学课程深化改革过程中“代数思维”内容的选择和组织提供一定的参考。

2研究设计

2.1研究对象的选取

综合考虑样本国家的地域位置、经济状况、文化以及数学教育背景等因素，除中国之外选取了5个代表性国家：澳大利亚、英国、新加坡、美国、南非（选取的6个国家以国家代码首字母进行排序，分别是澳大利亚、中国、英国、新加坡、美国、南非），6个国家基础教育阶段主体学制以及研究选取的国家数学课程标准文本如下（为了全文行文一致，各国均根据学制按年级顺序排列）．

表1样本国家主体学制及国家课程标准文本

注：英国将11年义务教育分为4个关键阶段（key
stages），国内学界一般将关键阶段1（year1、year2）和关键阶段2（year3、yera4、year5、year6）等同于国内小学阶段．而对于初中、高中阶段的划分，国内学界存在一定争议，考虑到数学课程标准的官方性质，参考曹一鸣《十三国数学课程标准评介（高中卷）》一书中的划分标准，将关键阶段3（year7、year8、year9）等同于国内初中阶段，将关键阶段4（year10、year11）等同于国内高中阶段．

2.2研究思路与方法

以澳大利亚、中国、英国、新加坡、美国、南非6个国家数学课程标准文本作为研究对象，以“代数思维”课程内容为例，探索“小学—初中—高中”数学课程整体设置的连贯性问题．采用内容编码、描述统计、比较研究等定性与定量相结合的研究方法，针对TIMSS经典课程分析工具“主题追踪图”（Topic
Trace
Mapping）的主要缺陷：主观性以及难以凸显课程重点，首创以课程标准内容条目数量设置权重的研究工具“加权主题追踪图”（Weighted
Topic Trace Mapping，简称WTTM）．通过比较研究，对中国基础教育阶段“代数思维”课程内容的选择和组织进行分析和探索．

3连贯性视阈下“代数思维”课程内容的比较研究

该研究在美国实施课程调查（Surveys
of Enacted
Curriculum，简称SEC）项目“K-12数学分类”的基础上，结合六国数学课程实际情况，经过两轮次“理论搭建+实践修正”之后，最终确定“代数思维”内容主题及编码体系如下：131
未知数、变量的使用；132 代数式概念；133 代数式的运算；134 代数式的证明；130 其它代数思维内容．

在此基础上，先后将六国“代数思维”相关课程内容条目进行编码、统计，最终绘制出相应的WTTM如图1~6．

图1澳大利亚代数思维WTTM

图2中国代数思维WTTM

图3英国代数思维WTTM

图4新加坡代数思维WTTM

图5美国代数思维WTTM

图6南非代数思维WTTM

注：加权主题追踪图是针对TIMSS传统课程分析工具“主题追踪图”的改进版，通过课程标准文本内容条目的编码和统计，图释表示该年级（阶段）内容条目数量为n (n<1) 条（即一条内容条目中有两个或以上主题），图释表示该年级（阶段）内容条目数量为n (1≤n≤2) 条，图释表示该年级（阶段）内容条目数量为n (2≤n<3) 条，图释表示该年级（阶段）内容条目数量为n (n>3) 条．

3.1内容分布基本情况

就整个基础教育阶段而言，六国代数思维课程内容分布情况如图7~8所示．

图7代数思维主题分布雷达图

图8代数思维主题分布柱形图

注：各国小学、初中、高中阶段有多于一门数学课程的情况，按照平均值统计，比如，澳大利亚高中共有4门数学课程，以4门课程主题数量平均值代表该国高中阶段主题数量。

可以看出，对于代数思维内容条目绝对数量而言，美国、澳大利亚内容条目数量较多，中国、英国内容条目数量较少，并且六国主要集中分布在“未知数、变量的使用”“代数式的运算”知识主题上．对于代数思维内容条目相对数量而言，在“未知数、变量的使用”知识主题中，美国所占比重最大（58.48%），新加坡所占比重最小（19.35%）；在“代数式概念”知识主题中，中国所占比重最大（37.50%），澳大利亚所占比重最小（6.54%）；在“代数式的运算”知识主题中，新加坡所占比重最大（61.30%），美国所占比重最小（27.32%）；在“代数式的证明”知识主题中，英国所占比重最大（8.33%），新加坡、南非课程标准文本中没有出现相关内容条目。

为了更为明晰地了解中国在六国中的基本情况，将中国与六国均值统计如图9所示．

图9代数思维主题分布（中国和六国均值）

可以看出，中国在“代数式的运算”“代数式的证明”知识主题所占比重与六国均值较为接近；然而，在“代数式概念”知识主题所占比重（37.50%）明显高于六国均值（17.20%），同时也是六国中所占比重最大的国家；在“未知数、变量的使用”知识主题所占比重（25.00%）明显低于六国均值（40.03%）。

3.2主题选择比较与分析

从整体上看，六国对于除130（其它代数思维内容）之外其余4个知识主题的覆盖程度比较全面：澳大利亚、中国、英国和美国，4个知识主题均有涉及；新加坡、南非没有“代数式的证明”。

另一方面，由于各国不同的文化教育传统，六国对于“代数思维”在内容选择上也呈现出一定的差异：澳大利亚从小学一年级开始涉及“数字模式”，高中“专业数学”课程中涉及“推导并使用与帕斯卡三角相关的简单恒等式”“证明并应用因式定理和余数定理”等“代数式的证明”知识主题．中国从四~六年级开始涉及“用字母表示数”，七~九年级开始涉及“能推导乘法公式，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算”等“代数式的证明”知识主题．英国从小学六年级开始涉及“代数地表达缺失数的问题”“推导并描述线性数序”，关键阶段4开始涉及“理解方程和恒等式的不同；数学论证以显示代数表达式的等值性，并使用代数支持和建立论点{和证明}”等“代数式的证明”知识主题．新加坡从小学六年级开始涉及“用字母表示数”．美国从小学一年级开始涉及“用含一个未知数的等式来表征问题”“算术模型”，高中阶段涉及“证明多项恒等式并运用它们描述数字关系”．南非从小学一年级开始涉及“创造和描述自己的模式”“调查并拓展数字模型以寻找模式的关系或规则”。

对于代数思维“其他”内容，各国不尽相同．澳大利亚涉及表征形式，比如“使用电子表格或同等技术画表格，记录公式中的值，包括二维双向表，如身体质量指数（BMI）表包括不同的体重和身高”．英国涉及表征形式，比如“将建模情形或过程翻译为代数表达式或公式，并且使用图表”．美国涉及余数定理．南非涉及余因子定理，比如“重视并理解最多三次多项式的余因子定理；分解三次多项式（包括要求因式分解定理的实例）”。

3.3主题组织比较与分析

（1）主题最早开始年级和主题最晚结束年级．

依次统计六国代数思维课程内容知识主题最早开始年级以及最晚结束年级，如图10~11所示．

图10六国代数思维知识主题最早开始年级

图11六国代数思维知识主题最晚结束年级

注：为了更为细致地研究各国基本情况，统计主题早晚年级时，课程标准文本中以“阶段”表述的主题，统一将该阶段起始年级作为主题的最早开始年级，将该阶段结束年级作为主题的最晚结束年级。

可以发现，就知识主题最早开始年级而言，“代数式概念”设置时间较为集中，均在六~八年级开始．“未知数、变量的使用”澳大利亚、美国、南非均从一年级开始设置，英国、新加坡则从六年级开始设置；“代数式的运算”南非从四年级开始设置，澳大利亚、中国从七年级开始设置；“代数式的证明”英国从六年级开始设置，澳大利亚则从十一年级开始设置．相较于六国平均水平，中国在“代数式概念”设置时间与六国一致，“未知数、变量的使用”“代数式的运算”设置时间略晚于六国，“代数式的证明”设置时间略早于六国。

就知识主题最晚结束年级而言，中国在4个知识主题设置时间均明显前置．相较于六国平均水平，“未知数、变量的使用”“代数式概念”“代数式的运算”“代数式的证明”设置时间较之六国均前置两年．从一定程度上可以说明中国代数思维课程内容设置时间相对较短。

（2）主题连续性

分别从两个方向探索代数思维知识主题的连续性情况，一方面逐一考察每个知识主题的阶段（小学、初中、高中）跨度情况，如图12所示．不难看出，中国是唯一代数思维知识主题全部仅“涉及1个阶段”的国家，“未知数、变量的使用”仅涉及小学阶段，其余3个知识主题仅涉及初中阶段，而英国、新加坡没有仅“涉及1个阶段”的知识主题．澳大利亚、英国、新加坡、美国均有3个知识主题“涉及2个阶段”．英国、南非各有一个知识主题涉及小学、初中、高中3个阶段，均为“代数式的运算”．从一定程度上可以说明中国代数思维课程内容设置呈现出集中性的特征，是六国之中阶段跨度最小的国家。

图12代数思维知识主题阶段跨度分布

另一方面注意考察每个知识主题的连续情况，如图13所示．不难看出，中国是唯一代数思维知识主题全部仅“涉及一个年级（阶段）的国家”，很大程度上归因于中国也是唯一小学阶段按照学段进行课程内容设置的国家，故无法深入考察知识主题的连续或中断情况，英国、新加坡没有仅“涉及一个年级（阶段）”的知识主题．英国、新加坡是“年级（阶段）间连续”所占比重最大的国家，各有3个知识主题连续．澳大利亚、美国是“年级（阶段）间中断”所占比重最大的国家，各有两个知识主题中断。

图13代数思维知识主题连续性分布

（3）主题逻辑结构

为了更为直观地将中国与六国课程内容设置基本情况进行比较，该研究设计合理算法，将六国课程设置的基本情况进行整合，绘制基于六国代数思维课程内容设置参考模型，如图14所示．

图14代数思维课程内容设置参考模型

图15中国代数思维课程内容设置

内容设置参考模型中代数思维知识主题出现的逻辑顺序为：“未知数、变量的使用”（一年级）→“代数式的运算”（六年级）→“代数式概念”（七年级）→“代数式的证明”（十一年级）．而中国代数思维知识主题出现的逻辑顺序为：“未知数、变量的使用”（第二学段）→“代数式概念”“代数式的运算”“代数式的证明”（第三学段）。

可以看出，在参考模型中，知识主题出现的先后顺序层次较为清晰，整个小学阶段、初中阶段贯穿“未知数、变量的运用”，不断强化代数思维的渗透，将“算术”与“代数”进行有效衔接；小学结束之前设置“代数式的运算”延续到整个初中、高中阶段，从值的“输入输出”开始，为之后“代数式概念”做准备；初中阶段设置“代数式概念”；高中阶段根据实际需要设置“代数式的证明”。

另一方面，关于“代数思维”单元知识主题设置重点．“未知数、变量的运用”知识主题，参考模型中设置时间长，其中，四、五、六、八年级皆为课程重点、次重点；中国仅在四~六年级设置为次重点．“代数式运算”，参考模型在初中阶段设置为重点，与中国相同；“代数式概念”，参考模型中没有将其设置为重点，中国在初中阶段设置为重点．“代数式证明”，参考模型与中国皆没有将其设置为重点。

可以看出，参考模型中重视“未知数、变量的运用”“代数式运算”，而中国则重视“代数式运算”“代数式概念”。

4启示与建议

他山之石可以攻玉．通过国际比较研究，可以审视中国代数思维课程内容设置的基本情况，从而为中国基础教育阶段数学课程内容设置趋向“整体性”“连贯性”提供一定
参考．

（1）适当增加“未知数、变量的使用”所占比重．中国在“未知数、变量的使用”知识主题所占比重明显低于六国均值，然而澳大利亚、美国、南非从小学一年级即开始设置相关内容，分别是澳大利亚“模式与代数”、美国“运算与代数思维”、南非“数字模式”模块，且一直延续到初中阶段，同时在参考模型中将其设置为重点．由此可见，“未知数、变量的使用”知识主题作为代数思维的基础知识，作为“代数式概念”的引导性内容，在国际中得以普遍重视，中国对此知识主题重视程度略显不足。

（2）适当提前“未知数、变量的使用”“代数式的运算”尤其是“代数式的运算”最早开始年级；适当推后代数思维知识主题最晚结束年级．中国代数思维课程内容阶段跨度是六国中最小的国家，所属4个知识主题均只属一个阶段，连续性较弱；然而，代数思维作为联系“算术”与“代数”的桥梁，在澳大利亚、英国、美国、南非均横跨小学、初中、高中3个阶段，适当延长中国整个代数思维课程内容的设置时间显得很有必要。

（3）进一步明晰代数思维单元知识主题出现的逻辑顺序．在参考模型中，知识主题出现的先后顺序层次较为明晰，整个小学阶段、初中阶段贯穿“未知数、变量的运用”，将“算术”与“代数”进行有效衔接；小学结束之前设置“代数式运算”延续到整个初中、高中阶段；初中阶段设置“代数式概念”；高中阶段根据实际需要设置“代数式证明”。