AP微积分 Free Response 必考知识点梳理！

在AP备考中，数学(Calculus 微积分)是绕不开的科目，AP微积分包括微积分AB和BC两门，是中国申请美本的学生选考最多的科目，学生需要有良好的数学基础，建议高一高二水平或学过预备微积分的学生学习。

要拿5分，可不是一件容易的事！

生活不止眼前的苟且还有头疼的AP微积分

选择 AB 还是 BC？

很多同学都会有这个疑问，考哪一个更有优势呢？建议数学基础较好，或者大学会选择理工科方向的学生，可以选择BC。每年选择报考BC的学生也会比AB多许多。

AP微积分BC比AB要更难一些，其中 BC 包含了所有 AB 的考点，另外BC 包含的知识点会比 AB 多，如参数方程、极坐标、数列和级数，申请时需要向招生委员会展现自己具有较强的数学水准与学习潜力，那么微积分BC成绩可以作为最好的证明，BC为满分5分的情况下，AB的成绩也为5分。

AP微积分试卷结构、评分标准分析：

AP 微积分 AB 和 BC 的试卷结构都是一样的，如下图所示。分为 Multiple choice 选择题和 Free response 问答题两部分。分数比例也都一样。选择题中的 part B 和问答题中的 part A 可以使用计算器。

考试内容

下列考试内容，需要学生在平时学习时注意积累和运用，不断加深对知识点的理解，及时查漏补缺。其中 BC 中的级数较难，需要记忆的内容比较多，公式也比较长，建议学生了解每种判别方法的特点，多加练习。

公式

AP 微积分考试不提供公式表，建议在考前自己归纳各类函数的微分和积分公式，三角函数特殊角的值，级数展开式等，通过做题目来记忆，提高熟练度和公式的运用。

计算器

AP微积分考试中，图形计算器可以用来画函数图像，求方程的根、定积分、求导。选择的图形计算器一定要能画函数图像，常用的计算器型号，如TI84, TI nspire cas, TI nspire cx cas等，考前一定要熟练运用计算器。

备考资料

1. 参考书：

• 巴朗 AP 微积分第 14 版：难度适中，习题较多，可以有选择性做，很适合作为自学教材。

• 微积分英文教材：如 Calculus by Ron Larson（10th edition） , 这是一本大学微积分教材， 会比专门针对 AP 考试的书籍，将知识点讲解更加详细，可以作为参考。

2. 历年真题：  College Board 的历年 Free response 题目和答案，考试前认真做，按照标准答题进行批改。 Multiple choice 官方不提供题目，可以根据网上能够找到的题目和参考 AP 微积分参考书。 留出一至两个月时间复习知识点和刷题。

评分标准AP 微积分 BC 考试总分为 108 分，70 分左右就可以得到满分 5 分，60 分左右可以得到 4 分。选择题和问答题各占了 50%，也就是 54 分。1. 选择题：共45题，每题1.2分，要得5分要控制错误的题目在 10 道以内。2. 问答题：共6题，每题9分。历年来每道题的平均得分在5分左右，难的题可能只有3分左右。2017、2018年的问答题平均得分如下：

考点解析每年 6 道问答题类型都差不多，前两道主要考察计算器的运用；后四道主要考察基础概念的理解。导数和积分应用结合在一起考察，共 4 题，微分方程 1 题，级数 1 题。1---级数

这是每年的压轴题，对大部分学生来说比较难，也是只有BC考试中考察的一个知识点。这部分需要记忆和理解的内容量很大。 包括幂级数求收敛半径、收敛区间，函数的泰勒展开，泰勒估值及拉格朗日余项、误差。收敛与发散，主要考Geometric Series、p-Series、Alternating Series、n-th term Test、Comparison Test、Ratio test、integral test，要记住每种级数的特点及判别方法。Taylor 和 Maclaurin展开的相关公式要熟记。如2018年第6题，题目给出了In(1+x)的Maclaurin级数，要判断收敛区间并利用收敛交替级数的性质，求前四项的误差边际。

2---微分或积分的应用

这也是每年都会考的题目，定积分求面积、体积、弧长等，有时也会与运动结合在一起进行考察。其中涉及到极坐标的，是比较难的。如 2018 第 5 题：这道题比较难。极坐标下求解两个函数图像所围的面积，之后考察了极坐标求切线斜率的方法，根据质点距极点的速度，求质点与极轴夹角的变化率。

3---微分方程

微分方程包括斜率场、欧拉法则、分离变量法等。只有分离变量法能算出精确方程，其它都是近似估计。常出现的错误有求解微分方程结果时少了积分常数;分离变量求积分时忘记变量分离。

4---导数图像推导出原函数的相关性质

这部分考点包括极值、大小值，函数的增减性和凹凸性。

5---基础的导数、积分

主要考中值定理、连续性、黎曼和等。黎曼和有 4 种表达形式：Left-hand , Right-hand , Mid-point and Trapezoid，每年都至少考一种，不需要特别记忆公式，在考试中只要画图像就可以做出来。如 2018 第 4 题：根据树的时间(年)和高度(米)的表格，估算瞬时变化率，考察了中值定理，要用梯形法则估算；根据树根直径和时间的变化率，考察了相关变化率。

无论你学AP微积分的目的是换学分还是预习课程，早下决定，早做计划都是很有必要的。接下来带来的就是考取5分的第二步！“保”你5分，为你保驾护航！