2025年已经进入最后一个月倒计时了，除了正在为明年1月份AMC8比赛全力备战的学生之外，也有不少先知先觉的家长已经在为孩子规划26年的数学学习节奏了。
数学怎么学、竞赛怎么打？
学霸如何施展才华、普娃如何弯道超车？
昨天，小林和翰林的一位金牌导师做了一场“聊天”，这场聊天源于这位导师闲聊时说的一句话：
“我带的高龄学生中，低龄学过竞赛的和没学过竞赛比，思维差距真的太大了。”
说这句话的就是翰林数学学科金牌导师——郭勉之老师！
● 北京大学硕士毕业，国际教育行业已有六年多工作经验，累计授课时长超过9000小时。
●高中数学教师资格证以及各类竞赛获奖证，AMC官方授予优秀教练证书，AP官方认证教师。
●美国AMC12/10/8竞赛学生进复赛以及获奖率平均超过65%。
2023年，郭老师有近30个学生晋级AIME，基本都是前5%或1%，获奖率超过70%，可以说真的是拿奖拿到手软。
然而有趣的是，郭老师说这些拿奖的学生并不像我们想象的那样天赋异禀，甚至她曾经带过的众多获奖选手中，有些还曾经是班里的“倒数”。
拿奖的学生都有哪些特质？
她是如何让学生实现“逆袭”的？
为什么她如此看重低龄段的竞赛学习经验？
小林和郭老师谈了1个半小时，以下这些干货你千万不能错过。
北大才女到“教书匠”
她有什么数学学习秘诀
Q、您是北大毕业的，当时读的是什么专业？
为什么后来选择当老师呢？
当时读的是芯片和微电子专业，不过其实很早以前我就对老师这行很向往。
一方面是因为我自己遇到了好的数学老师，对我的影响很大；另一方面因为我的数学成绩好，同学都愿意课间来问我题目，我也乐于分享自己的方法和技巧，可能从那时就种下了当老师的种子了吧。
Q、您刚刚说到以前上学的时候数学就很好，那你当时有什么学习的“窍门”吗？
其实也谈不上什么窍门，我觉得一是自己问自己“学的这个东西能怎么用”，自己想办法去找更多应用的场景；二是我总是喜欢琢磨有没有更简单更巧妙的办法，觉得不够简洁我会再找。其实在做这两件事儿的过程中数学会给我带来很大的乐趣。
Q、您是从体制内体系一路学上来的，现在教的都是国际学校的孩子，感觉体制外的孩子学数学有什么不同吗？
其实学习的方法倒没有很大区别，但是体制外的孩子自我意识比较强，他们经常会问我类似“老师，学三角函数只能用来做题吗？”这样的问题。
双曲函数
所以我在课上一般会稍稍拓展一下，跟他们将一些补充知识，比如说双曲函数看上去很抽象，我会向他们介绍说“达芬奇创作《抱银鼠的女子》这幅画的时候，为了能让人物脖子上的项链曲线更真实，请教了当时的数学家，后来雅各布等数学家最终研究出了双曲函数的
coshx，这个问题才得到解决。”。
达芬奇名作《抱银鼠的女子》
故事不但能调节课堂气氛，也能让学生知道所学的内容原来是跟实际生活有关联的，自然也会更主动去学。
“逆袭拿奖如喝水”
金牌教练说天赋没那么重要
Q、我们经常说数学是很看天赋的学科，甚至很多家长觉得打竞赛就是拼天赋，你带过这么多学生，同意这个观点吗？
其实我觉得，大部分我们熟悉的竞赛都还没到谈论天赋的地步，尤其是低龄阶段的竞赛。比如AMC8这样的比赛，普通天赋拿1%没大家想象的那么难，靠努力完全可以达成。
而且我觉得，竞赛的作用不仅仅是拿个奖，它是很好的促进数学学习的手段。
我自己带的第一个学生就是一个很好的例子！
当时这个孩子来的时候数学成绩在班级靠后，但其实孩子学习的意愿还是很强的。我就带着他一点一点地补漏洞，慢慢地他逐渐找到自己的学习方法和节奏了，说要参加澳洲AMC的竞赛 ，而且通过短期学习就拿下了3等奖。并且他发现同班那些成绩平时比他好很多的同学甚至都拿不到奖，信心马上就上来了，接下去的课内学习也比以前更顺了。
Q、这样的案例是个案还是普适情况？
像这样的例子，我觉得我手头至少有近40%是这样的，真的不是什么个案。
其实很多孩子都有很大的进步空间，只要他们意识到“其实我还不错”，主动性一上来，成绩上得就非常快，打竞赛出成绩也不是什么奢望了。
Q、那我挺好奇，你是用什么方法帮助这些普通学生拿到想要的竞赛结果呢？
我觉得大家可以把打竞赛理解为爬山，你想一想，如果你面前的山连路都没有，可能很多人完全不知道从哪里去爬，这就是很多我看到的“后进生”的困境，目标就像高山一样，可又看不到路径，自然觉得没希望了。
另一种情况，就算你有一条路，但是台阶很高，你每爬一步都要花费很大的力气，那爬几级台阶就会很累爬不动了，这种就是台阶设置得不合理。
所以我们翰林的老师上课一般都不会只找本宣科，比如我上课的时候会关注课上学生的反馈。如果我发现学生跟的很累，那我就会“降低台阶高度”，最佳状态就是“小步长期”，孩子可能都感觉不到累，但其实一直在往上爬，最终登上山顶就不那么难了
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一年带出30个AIME晋级
她说数学好的学生有这些特质
Q、2023年，你有30多个学生晋级了AIME，你觉得这些晋级AIME的学生都有什么特点呢？
首先我觉得数学竞赛想要获得好成绩，必须具备三个条件！
第一：知识学到位
所谓“巧妇难为无米之炊”，再聪明再有天赋，基本概念都没学好，就不用想竞赛得奖这事儿了，老老实实补知识最重要。
第二：课后勤练习
我们知道越高水平得竞赛题越少套路，因此触类旁通的能力就很重要了。这种能力怎么来，其实天赋不是最重要的，练习才是。
因为练习的过程中你才能加深对问题的理解，才能丰富你自己的解题“武器库”就越来越多了，什么情况用哪个武器就很清楚了。遇到新问题才能更快找到切入口。
第三：会时间管理
这是最容易被忽略的一个点，就拿AMC系列来说，AMC8是40分钟、AMC10是75分钟，其实时间都是非常紧张的。
很多孩子来的时候说自己AMC8套卷能做到23、24分，但其实要花2、3个小时，真压缩在40分钟发现只有15、16分了，这种情况实在太多。
除了这三个条件外，我发现这些能拿奖的学生无一例外都有一个特点——从小学就开始打竞赛了。
Q、这其实就回到我们经常说的“竞赛规划”这个话题上了，你觉得低龄阶段有必要打竞赛吗？
有人说低龄竞赛如果不是小升初，其实也没什么用？
我还是非常推荐低龄孩子多去参加一下竞赛的，尤其是好好学一学竞赛。
从我带的这些出成绩的学生来看，他们拿奖，天赋其实更多是起到辅助作用，主要靠得是积累。尤其是一些思维能力，都是需要长期养成的。
具体来说我觉得是这些能力：
1.抽象能力
2.逻辑推理能力
3.归纳总结能力
4.联想迁移能力
5.发散和想象力
6.目标导向推理能力
比如说你要测一座山的高度，你要先把它抽象成一个三角形，然后应用三角形相关的特性去对问题进行分析和推理，最后得出你的结论，这就是基本的数学思维过程。
如果是打竞赛，后面三种能力的要求就会很高，尤其是最后一个能力，我的很多学生遇到新题和难题会懵，这时候我就会问：
“这个题目问什么？”
“我现在需要什么？哪些是已经有的条件、哪些需要去找？”
“需要找的东西怎么得到？有哪些条件还能用？”
... ...
有了这样的思维习惯，遇到难题至少就知道怎么下手了！这也是我带学生时，学过竞赛和没学过竞赛之间最大的差别。
Q、那这些思维能力里，你觉得哪些是天赋决定的，哪些是可以后天训练的？
这些能力中，其实大部分都可以通过后天培养的，只不过就像刚才说的，要靠长期持续的练习去落实。
而且竞赛对于后面三项能力的训练效果也是非常明显的，比如联想迁移能力，我们会觉得这个能力和天赋关系比较大，确实天赋很重要，但这个能力后天也是可以提升的，只是花的时间更多一些。
我们知道竞赛的题不像国际课程校内的题，往往非常灵活多变，可以说打竞赛就是不断地和新题型在接触，这个过程中其实会“逼”着孩子不断思考、对比、总结，久而久之联想和迁移能力也就提高了。
而且这些能力不只是学数学、打竞赛有用，对于未来的工作、尤其是做管理做决策的时候会非常有用，很多厉害的企业家小时候打竞赛也都非常牛！
整个采访中，“积累”两个字也许是郭老师提及最多的。在跟她的沟通过程中，小林发现其实我们对于孩子数学学习规划的焦虑，其实是源于逻辑反了！
我们往往会想当然觉得天赋决定结果，于是总是纠结于孩子到底有没有天赋、值不值得投入时间和精力。然而，从郭老师的描述和她的“战绩”中我们会发现，其实竞赛的结果其实是靠逐渐积累出来的，而不是天赋事先决定的。
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