从乘法分配律的直观解释说如何学习数学思维

不同于前面的文章，要么是自己讲课后的小结，要么是自己读书时候的领悟，本文是应一位家长朋友的请求而写。

在我们大人看来很容易理解的乘法分配律，在很多孩子的眼里却不是很容易理解的事情，甚至有不少五六年级的孩子，对这个运算法则都是似懂非懂，所以有必要写篇短文来解释一下这个问题。

先来解释什么叫做分配律（distributive law）？

首先要说明的是，这里的“分配律”仅限于中小学生课本中所涉及的初等数学部分的知识，不扩展到布尔代数和形式逻辑方面去。如果真要这么解释，虽然看起来比较严谨，但对小学生而言就更加不容易理解了。

“严谨”与“精确”相似，只是一个相对的概念，不同的阶段用不同的角度和术语来解释会比较好。有一些数学老师总搞不清这个概念，也把握不了尺度，总以为越抽象的代数证明就越严谨。我想，大部分的数学家应该是不赞同这个理念的，至少据我所知，有数学中的莫扎特之称的陶哲轩就不这么认为。

引述小学课本上的定义：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再将积相加，这叫做乘法分配律。

用代数式来表示就是：c×（a＋b）＝c×a＋c×b；

用图形符号表示就是：■×（▲＋★）＝■×▲＋■×★。

事实上，无论是代数式还是图形符号，对小朋友而言都不如几何图形来得直观易懂。

先看一道美国四年级的数学学术活动题：64＋64＋64＝8×□。

我看到很多孩子都是把3个64相加得到192，然后再用132除以8得到24。答案对吗？当然对了，这么简单的四则运算对中国孩子而言只是小菜一碟。但是很遗憾，出题的人其实不是为了这个24的答案。

这个问题可以怎么去考虑呢？我们知道，64可以写成8×8，于是64＋64＋64＝8×8＋8×8＋8×8＝8×（8＋8＋8）＝8×24＝8×□，因此得到□＝24。这里其实考的就是乘法的分配率，这样的计算比大部分孩子先把3个64相加得到192、然后再用132除以8得到24的做法简单很多，也不容易出错。

但我发现，很多小朋友对乘法分配率的理解有不同程度的困难，而困难的原因我认为则在于课本的定义和表达式过于抽象。现在我们换个角度来理解这个问题。

我一直不断鼓励和训练孩子们，看到数学表达式要学会通过几何图形去进行联想和构思，看到几何图形可以再转回数学表达式。只要勤加苦练，就能做到来回切换自如，解题时就会变得游刃有余。当年高考，我就是用这样的方法，在短短的四十分钟里就做完了整张高考数学试卷，虽然最后没有得到满分，但这样的速度已经让很多人难以企及了。其实，只要科学有效地进行数学思维训练，每一个人都是可以做到的。

当我们看到两个数相乘时，可以联想到什么呢？矩形的面积。我在多个场合都提到过这个源自几何之父欧几里得的理念。因此，回到上题，64＋64＋64＝8×8＋8×8＋8×8本质上其实代表着三个边长为8的正方形相加，最后可以拼成一个8×（8＋8＋8）＝8×24的长方形。如图所示：

上图逆向推导其实也是成立的。比如说：

所以，从上面的图示可以看出，在小学阶段的数学问题中，乘法的分配率其实本质上可以理解为矩形的拼接和分割。

进一步，更为复杂的情况可以表示为：

进一步的知识读者朋友们可以看后面“延伸阅读”中提到的文章，有很多不同的解释和应用。

这里，顺便再拓展一下，我们再来看一个有点挑战性的问题：1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋4×4×4＝？

不少小朋友看到问题就是开始死算，很快得到了答案100。对吗？当然对，和前面的问题一样，这种计算对中国孩子太简单。但我的问题是，假如题目改为：1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋…＋100×100×100呢？也进行死算吗？所以很多孩子其实没有明白数学究竟学的是什么？

两个数相乘我们可以理解为矩形的面积，那么三个数相乘呢？聪明的小朋友会说理解成立体图形。如果会这么思考的孩子说明已经会举一反三了。确实，可以这么联想。如图所示：

答案就不用过多解释了吧，这张图的证明太简单直白了。不过在这里我想说的是，这个问题还可以换一个角度来思考这个问题。由于从二维平面到三维立体图形的转变，数学思维的难度会增加很多，能不能依旧停留在二维平面图形来思考呢？答案是肯定的。

我们可以把1×1×1看成1个1×1的正方形；把2×2×2看成2个2×2的正方形；把3×3×3看成3个3×3的正方形；……把n×n×n看成n个n×n的正方形。然后拼起来得到下图：

当然，我们还可以这么来看问题：

这里需要解释一下的是左边的式子n×n2所代表的数学含义。我们发现，在这个图形里，每一层的三角形数都是奇数，那么从1开始的连续奇数相加有什么性质呢？
还是看图：

从上图可以看出，从1开始的连续奇数相加，其和为项数的平方。明白了这一点，我们就可以知道：

那么上图其实可以更详细地表达为：

因此，通过几个角度的直观证明，我们可以知道：1×1×1＋2×2×2＋3×3×3＋…＋n×n×n＝（1＋2＋3＋…＋n）2。从1开始的连续立方数求和，最后居然变成了一个完全平方数。这里涉及到的证明过程可比计算得到一个简单的答案有趣多了吧！

学数学，最重要的是学习数学思想和思维方式。这其中就包括观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、反思构成、演绎证明等等各种数学思想和能力。
这些才是最有美感的东西，而不是那些个简单重复的计算，答案固然重要，但那只是水到渠成的结果。很多孩子似乎都搞不清这个问题的重要性，当然责任主要在于我们很多数学教育工作者们的教育导向出了很严重的问题。